重庆大一联盟2025-2026学年高三上学期12月考试数学试卷

这是一份重庆大一联盟2025-2026学年高三上学期12月考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

稳昇高教育高2026届12月联合质量检测
数学参考答案及解析
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知 A  {a  3, a2}， B  2, 1,1,2 ，若2  A ，则 AB  （）
A．1, 2
【答案】B
B．2,1
C．1,1
D．2, 2
【详解】由题意可得2  a  3，解得a  1，则 A  {  2,1} ，故 AB  {  2,1}.故选：B.
已知直线m ，平面 ,  ， m   ，   ，则“ m   ”是“ m / / ”的（）
必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A1
C
【答案】B
【详解】由已知m   ，   ，则m   可以证明m / /
而m   ，   ， m / / 不一定能够得到m   ，如图：在长方体中，平面
D1C1
ABCD 为平面 ，平面 AA1D1D 为平面 ，则m 可以是 BB1 ,
BC1， CC1 等B1
所以在已知直线m ，平面 ,  ， m   ，   条件下，“ m   ”是“ m / / ”的充D
分不必要条件.故选：BAB
已知复数 z 1  (2  z)  i （ i 为虚数单位），则 z =（）
1 3iB． 1 3iC． 3  iD． 3  i
2
【答案】D
1 2i
2
1 2i 1 i 
1 2i  i  2i2
22
3  i
【详解】由题意 z 
故选：D
1 i1 i 1 i 22
已知
3 sin  2 cs  π  ，则tan(   )  （）
3 
3
2
3
【答案】D

3
2

3D． 3
66
【详解】
3 sin  2 cs  π   cs 
3 sin ，则2 3 sin   cs ，故tan  ，
3 
则tan(   )  tan  
6
3 .故选：D
6
已知定义在 R 上的奇函数 f  x 
4x 1
ax
( a  0 )，则 f (ax 1)  f (a  x2 ) 的解集为（）
{x | 3  x  1}B．{x | 1  x  3}C．{x | 3  x  1}D．{x |1  x  3}
【答案】A
【详解】∵函数 f  x  4x 1 是奇函数， ∴ f x   f  x ，即 4 x 1  4x 1 ，
ax
∴ a2x  4x ，即a  2 ，∴ f  x  2x  1
2x
为 R 上单调递增的函数
a xax
∴ f (2x 1)  f (2  x2 ) ，则2x 1  2  x2  x2  2x  3  0 ，解得3  x  1，故选：A．
已知正项等差数列an 中， a1  a4  8 ， a2  a3  a8 ，若a5  a6  a7  am  200 ，则m  （）
10B．13C．15D．17
【答案】C
a1  a4  8a1  a1  3d  8
【详解】设等差数列的首项为a1 ，公差为d ，则由a  a  a ，得(a  d )(a  2d )  a  7d ，
 238 111
a1  1a1  40
解得，或
(舍)a
 1 n 1 2  2n 1，设数列a  的前n 项和为S ，则S
 n2


d  2
d  24n
nnn
故a  a  a  a  m2  52  200 解得m  15 ，故选：C．
567m
已知函数 f  x  1
3 sin 2x  2 cs2 x ，将函数 f  x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数 g  x  的
4
图象，当 x (0, ) 时， f  x 与 g  x  的图像交于 A, B 两点，则| xA  xB | =（）
2
A． B． C． D．
4323
【答案】C
【详解】由题意得 f  x  3 sin 2x  (2 cs2 x 1)  3 sin 2x  cs 2x  2sin  2x  π  ，
6 

∴ g  x  2sin[2(x  π)  π]  2sin  2x  π  ，两个函数的周期均为T  2  
463 
2
∴ f  x 与 g  x  的图像交于 A, B 两点，则2sin  2x  π   2sin  2x  π 
6 3 

∴ 2x  π  2x  π  2k 或2x  π  [  (2x  π)]  2k ，解得 x  5π  k ，
63
∴取k  0,1， | x
A  xB
| 
2
63
故选：C．
242
过点 A(0， 1) 作 y  x2 的切线l ，切点为 B ，以 AB 为直径的圆与 y 轴交于另一点C ，则C 到l 的距离
为（）
1
2
【答案】B
2 5
5
1D． 3 5
5
【详解】由题意知 y  2x ，设切点 B 为(x ，x2 ) ，所以切线方程为 y  x2  2x (x  x ) ，代入
00000
5
A(0， 1) ，解得： B 为(1， 1) ，或(1， 1) ，两点关于 y 轴对称， 则| AB |
∴切线为l : y  2x 1或l : y  2x 1 ，则以 AB 为直径的圆为(x  1)2  y2  5 或(x  1)2  y2  5
122424
22 1
均交 y 轴于C(0， 1) ，∴ d  |1 2  0 1|  2 5
5
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
已知正实数a，b ，满足a  b  2 ，则（）
a
​
 2
2a  2b  4
| a |  | b | 1
a2  2b  3
b
【答案】ABD
ab
ab
【详解】 a  b 2  a  b  2 2  2 2  a  b  4 ，当且仅当a  b  1 时取等号，故A 正确；
2a 2b
ab
2a  2b  2
 2  2 2
 22  4 ，当且仅当a  b  1 时取等号，故B 正确；
由a  b  2 ，则| a |  | b || a  b | 2 ，故 C 错误；
由b  2  a ，∴ a2  2(2  a)  a2  2a  4  (a 1)2  3  3 ，故 D 成立；
已知四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中，各棱长均为 1， BAD  A1 AB  A1 AD ，则（）
AC1  BD
C．若 AC  2 ，则csBAD  1
VA BC D  VA ADB BC
1111
D．若 B D  BD ，则V2
16
【答案】AC
11A C1BD9
【详解】由题意，四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 底面为菱形，则 AC  BD ， AC 为BAD 平分线
A1 AB  A1 AD   ，则 A1 在平面 ABCD 的射影 H 在直线 AC 上，故 A1H  平面 ABCD ，
∴ A1H  BD ，∴ BD  面 A1 ACC1 ， AC1  BD ，故 A 正确；
D1
A1
B1
D
C
A
H
B
D1
A1
B1
D
C
A
B
C1C1
由 ABCD  A B C D 为平行六面体，则V
 1 V
1 1 1 1
而V VV
A1 ADB1BC
VV
2 A1B1C1D1  ABCD
V 1 V
，故 B 错误；
A1 BC1DA1B1C1D1  ABCDA1  ABDC1 BCDB  A1B1C1
D A1C1D1
3 A1B1C1D1  ABCD
AC1  AB  AD  AA1 ，设BAD  A1 AB  A1 AD   ，则
AC2  AB2  AD2  AA 2  2AB  AD  2AB  AA  2AD  AA  3  6cs  22 ，解得cs  1故 C 正确；
11116
由 B1D  BD1 ，则 BDD1B1 为菱形，则 BD  1，∴ BAD  60  BAA1 ， BAC  30 ，
∴ csBAA1  csA1 AC cs BAC ，得 1  csA AC  3  csA AC  3  sin A AC 6
2
212
1313
∴ A1H 
6 ，∴V
3
A1B1C1D1  ABCD
 AB  AD sin 60 A1H  2 ，
由 B 选项：V
 1 V
2 ，故D 错误．
A1 BC1D
3 A1B1C1D1  ABCD6
已知三次函数 f  x  ax3  bx2  x 1，则下列说法正确的是（）
若b  0 时，则 f  x 为增函数
若b2  3a 时，则 f  x 有两个极值点
若b  a 时，当 f  x 在 x0 取极大值，则 f  x0   1
若b  3a 时，则 f  x 图像关于1，a 中心对称
【答案】BC
【详解】由三次函数 f  x ，则a  0
当b  0 时，则 f  x  3ax2 1，若a  0 ， f  x  1，即 f  x 为增函数成立；若a  0 ， f  x  0 ，存在两个不等实数根，即 f  x 有三个单调区间；故 A 错误
由 f  x  3ax2  2bx 1，由b2  3a ，则Δ  4b2 12a  0 ，即 f  x  0 有两个不等实数根，故 f  x
有两个极值点，故B 正确
由b  a ，则 f  x  3ax2  2ax 1，由 f 0  1， f 0  1，则 x  0 位于递增区间，
当a  0 ，则 f  x  0 得两根为 x1，x2 ，且 x1  0  x2 ， f  x 在(x1，x2 ) 单调递增，则
0 (x1，x2 ) f  x0   f x2   f 0  1
当a  0 时，若有极大值，则 f  x  0 得两根为 x1，x2 ，且a  3 ， 0  x1  x2 ，则0 (，x1 )
为 f  x 增区间，则 f  x0   f  x1   f 0  1，故C 成立
若b  3a 时，则 f x  ax3  3ax2  x 1， f  x  3ax2  6ax 1， f  x  6ax  6a  0 得 x  1 ，
∴ f 1 x  f 1 x  4a ，则图像关于1，2a 中心对称，故D 错误
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知a  (1, 2), b  (2, 2 2) ，则| a  b | =.
3
【答案】3
27
3
【详解】| a  b || 32  (3 2)2 | 3
已知 f  x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的正实数 x 都有 f 1 x  2 ，已知 f 1  4 ，那么
f (x)
f 6 =.
1
【答案】
2
【详解】∵ f  x 是奇函数，∴ f (x)   f (x) ，∴ f 1   f 1  4 ，
又 f 1 x  2 ，∴
f (x)
f (x  2) 
2
f (x 1)
2
2
f (x)
 f (x)
，
∴故 x  0 时， f  x 周期为 2，则 f 6  f (2)  2  1 .故答案为： 1 .
f (1)22
P
O2
O1
O3
O
如图，已知圆锥 PO ，用平行于底面的截面，将圆锥 PO 分切成小圆锥PO1 和圆台O1O ，此时圆锥 PO1 的顶点 P 和圆O1 上所有点均在球O2 上，圆台O1O 存在和上下
底面及侧面均相切的球O3 ，若球O2 和O3 的半径均为 R ，则圆锥 PO1 和圆台O1O 的高之比为.
3
【答案】
2
P
O2
A1
M
O
1
B1
O3
O
【详解】由题意，在轴截面等腰三角形 PAB 中， APB   ，平行于底面的截面与轴截面形成了交线 A1B1 ，将△ PAB 分为△ PA1B1 和梯形 AA1B1B ，圆O2 和圆O3 分别
为两部分的外接圆和内切圆，半径均为 R ，则有△ PA1B1 高 PO1  h ，梯形高
O1O  2R ，∴ O1O2 A  A1PB1 ，∴ O2 A1  O3M  R ，
O3M  R  sin O1O2  h  R  cs
h  R  1
R 2
3
2
∴ O Ph  R2 ，∴ O AR
h 1  1 2( 1 )2h
，∴
R
2x(x  2)
2()
h  R
h3
∴ R h 1
R
，令  x ，则 x 
R
(x 1)2
解得 x 
3 ，所以．AB
2R2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知圆C 的圆心在 y 轴，经过 A(3, 3) ， B(4, 10) ，过直线l ： x  2 y  6  0 上的动点 P 作圆C 的切线，切点分别为M ， N ．
求圆C 的标准方程；
5
若弦MN  4,求 P 点坐标.
【详解】（1）由题意，设圆心C (0,b) ，半径为r（r  0），标准方程为： x2  ( y  b)2  r2
 32  (3  b)2  r2

代入 A(3, 3) ， B(4, 10) ，∴ 42  (10  b)2  r2
 b  7 ，4 分
r  5

∴圆C 的标准方程为 x2  ( y  7)2  256 分
5
5
B
M
C
Q
A
N
P
(2)弦 MN 交CP 于Q ，则MQ  2，∴ CM 2  CQ2  MQ2  CQ 
5
∴由直角三角形射影定理： CM 2  CQ  CP  CP  5
10 分
x2  ( y  7)2  (5
5)2  x  10
 x  2


∴ P 点满足： x  2 y  6  0
 y  2 或 y  4
即 P 点为(10, 2) 或(2, 4) ．13 分
在 ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 a  2 3 sin(C   ) .
b33
求角B ；
若 ABC 是锐角三角形，且c  4 ， D 为 AC 边中点，求 BD 的取值范围.
【详解】（1）∵ a  2 3 sin(C   ) ，∴ 3a  2b sin(C   )  b sin C  3b cs C
b333
由正弦定理可得 3(sin A  cs C sin B)  sin B sin C 
3 cs B sin C ，
∵ C 0, π，则sin C  0 ，∴ sin B 
3 cs B ，则有tan B ，故B  π .6 分
3
3
0  C  π

∵ ABC 为锐角三角形，则
2
2ππ
，∴ π  C  π ，
62
0  A  C 
32
∴ tan C 
3 ，则0 
3
ac
1
tan C
，8 分
3
4sin  C  π 
由正弦定理可得
，∴
c sin A
3 
10 分
2 3
sin Asin Ca    2 2,8
sin C
∵ D 为 AC 边中点，∴ BD  1 (BA  BC)
2
sin C
tan C
∴ BD2  122
1221212
13 分
(BA  BC  2BA BC)  (c  a  ac)  (a  4a 16)  (a  2)  3
4444
2
∴ BD  (7, 28) ，即 BD ( 7, 2 7)
15 分
数列a 满足a  1 ， a  2a
 3a  a
 0 (n  N *) ．
n15nn1
nn1
1
求证：数列{ 3} 是等比数列，并求数列a 的通项公式；
a
n
n
n
设b  2n 1 ，数列b 的前 n 项和为S ，求S ．
a
nnn
n
【详解】（1）因为a
2a
3a  a
 0 ，所以 1
 2  3 ，2 分
nn1nn1aa
所以 1  3  2( 1  3) ，而 1  3  2  0 ，
n1n
an1ana1
a 
1
所以{3} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列；
n
所以 1  3  2  2n1 ，则a 
1；6 分
n
an2n  3
由(1)可知a 1，则b
 (2n 1)(2n  3)  (2n 1)  2n  3(2n 1) ，7 分
n2n  3n
n
 S  2  3  3 22  33  5 23  35  (2n  3)  2n1  3(2n  3)  (2n 1)  2n  3(2n 1)
 (2n  3)  2n1  (2n 1)  2n ]  3[1 3  5  (2n  3)  (2n 1)]
 [2  3 22  5  23 9 分
1n
令 An  2  3 22  5 23  (2n  3)  2n  (2n 1)  2 ；
∴ 2An 
22  3 23  5 24  (2n  3)  2n  (2n 1)  2n1
作差得：  An  2  2  2
2  2  23 
 2  2
n  (2n 1)  2n1 
4(1 2n )
1 2
 (2n 1)  2
n1  2
∴ An
 (4n  6)2n  6
11 分
令 Bn  1 3  5 
 (2n  3)  (2n 1)
则 Bn
 1 3  5 
 (2n  3)  (2n 1)  n(1 2n 1)  n2
2
13 分
 S  A  3B
 (4n  6)2n  6  3n2
15 分
nnn
18. 如图，直角梯形 ABCD ， AB / /CD ， BC  CD ， AE  CD ， M 为 AD 中点，将△ ADE 沿 AE 折起，使
D 到 P 处.
求证： PC // 平面 BEM ；
2
若平面 AEP  平面 ABCE ， AE  PE  4 ， AB  4
当  1 时，求证：平面 PBC  平面 EMN ；
3
， PN  NB   0
当二面角 P  EM  N 的正弦值为 4 17 时，求 的值.
17
P
N
M
E
C
A
B
DEC
AB
【详解】（1）连接 AC 交 BE 于点O ，连接OM ，由题意四边形 ABCE 是矩形，所以O 为 AC 中点，
P又因为M 为PA 中点，所以在△PAC 中，有OM∥PC ，因为OM  平面 BEM ， PC  平面 BEM ，
N所以PC // 平面 BEM ；4 分
M（2）在矩形 ABCE 中，有 EC  AE ，又 AE2  PE2  AP2 ，∴ PE  AE ，
EC 面AEP  面ABCE
PE  面AEP

B
AO面ABCE 面AEP  AE
∴ PE  面ABCE ，6 分

 PE  AE
以 E 为原点，以 EA ， EC ， EP 方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则有 E 0, 0, 0 ， A4, 0, 0 ， C 0, 4 2, 0, P 0, 0, 4 ， M 2, 0, 2 , B 4, 4 2, 0
z所以 EM  2, 0, 2 ， EB  4, 4 2, 0， EP  0, 0, 4 ，
P
N由 PN  NB 0    1∴ EN   4 , 4 2 , 4 8 分
 1  1  1  

M1
3
（ⅰ）当  时， EN  1, 2, 3 ， PB  4, 4 2, 4
EC y
A
xO∴ EN  PB  41 4 2 
B
2  43  0 ，∴ EN  PB ，
EM  PB  2 4  0 4 2  2(4)  0 ，∴ EM  PB ，
又∵ EM  EN  E ， EN  平面 EMN ， EM  平面EMN ，
∴ PB  平面 EMN ；
∵ PB  平面 PBC ，∴平面 PBC  平面EMN12 分
（ⅰi）取平面 EMP 的法向量m  0,1, 0 ，设平面 EMN 的法向量为n   x, y, z  ，

 4
EN  n x 

1 
EM  n  2x  2z  0
z  x
 1 
则
4 2 4  
，令 x  1 ，则n  1,, 1 ， 14 分

1 
y  1 
z  0
 x 
2 y  z  0
2
因为二面角 P  EM  N 的正弦值为 4 17 ，则余弦值为
17
17 ，
17
| 1  |
2
1 
 1  2
 2 
  12
m  n
m

n
∴ cs