重庆市名校联盟2025-2026学年高一上学期12月联合考试 数学(含答案）

这是一份重庆市名校联盟2025-2026学年高一上学期12月联合考试 数学(含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组对象中，能构成集合的是（ ）
A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题
B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生
C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题
D．美丽的小鸟
2．已知幂函数的图象经过点，，则（ ）
A．B．3C．6D．9
3．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ）
A．4B．C．D．2
4．若，则（ ）
A．B．C．D．1
5．设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．终边经过点的角的集合是
C．若，则恒成立
D．若角，则角的最大负角为
11．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数在上单调递减
B．若函数有且仅有两个零点，则
C．当时，若存在实数，使得，则的最小值为2
D．已知点在的图象上，且的图象上存在点，使得关于坐标原点的对称点也在的图象上，则
三、填空题
12．函数的定义域是 ．
13．已知函数（且）.
它满足对任意的，则的取值范围是
14．已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合.
(1)若点坐标是且，求的值；
(2)若角满足
①求的值；
②求的值.
16．已知集合和集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．重庆是火锅美食之都，特色火锅食材加工产业发展迅速.为了满足市场需求和保障火锅食材供应链的稳定，某重庆特色火锅食材生产厂家年投入固定成本150万元，每生产万吨，需另投入成本（万元）.当年产量不足60万吨时，；当年产量不小于60万吨时，.通过市场分析，若每万吨售价为400万元时，该厂年内生产的火锅食材能全部售完.（注：利润=销售收入-总成本）
(1)求出年利润（万元）关于年产量（万吨）的解析式；
(2)年产量为多少万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大？并求出利润的最大值.
18．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)若，求满足的实数的取值范围.
19．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”．
(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；
(2)若函数是“型函数”，求的值；
(3)已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围．
1．C
根据集合的概念逐项分析即可得结论.
【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；
对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；
对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合；
对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.
故选：C.
2．D
根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解.
【详解】设幂函数，则，解得.
故，解得.
故选：
3．D
连接，得出，再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC
因为
所以．
故选：D．
4．B
两边同取对数求出，代入式子利用换底公式即可求解.
【详解】由可知，，
即.
故选：.
5．A
分段讨论最小值即可.
【详解】由于函数的最小值为，
当时，，
当时，，解得，
故选: A．
6．C
时，是增函数，由此得解.
【详解】时，是增函数（增函数+增函数=增函数）.只有选项C满足.
故选：C.
7．D
根据偶函数的性质与对数运算可得，，再根据对数函数的单调性比较的大小关系，结合单调性即可得函数值大小从而得结论.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，
所以，，
因为函数在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，
因为函数在上单调递增，所以，
故.
故选：D.
8．B
函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围.
【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标，
函数的零点是与图象交点的横坐标，
由于与互为反函数，其图象关于直线对称，
直线与直线垂直，
故直线与直线的交点即是的中点，
，，
当且仅当时等号成立，故，
故所求的取值范围是．
故选：B．
9．BCD
对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.
故选：BCD
10．ACD
由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点，可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将角度关系转化为，结合的取值进而可判断D．
【详解】对于A，若是第一象限角，则，所以，
当，时，，为第一象限角，
当，时，，为第三象限角，
所以是第一或第三象限角，故，故A正确；
对于B，终边经过点，的角的终边落在第一、三象限的角平分线上，
即角的集合是，故B错误；
对于C，当时，，则恒成立，故C正确；
对于D，因为，
所以当时，角的最大负角为，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
对A，根据函数特点直观判断即可；对B，讨论，，函数的单调性判断即可；对C，根据函数特点可判断；对D，求出函数，然后与联立求解即可.
【详解】对A，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误；
对B，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误；，有两个零点；
当时，令，则，有无数个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以有1个零点；
所以若函数有且仅有两个零点，则，正确；
对C，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，令，则，如图，
由图可知，当时，的范围是，
即不存在实数，使得成立的的最小值为2，故错误；
对D，将点代入可知，当时，，则函数关于原点对称的函数解析式为，
由题可知：与有两个不同的交点，
所以或，所以，
所以，正确.
故选：BD
12．，
直接利用函数定义域的定义得到不等式计算得到答案.
【详解】函数的定义域满足： 解得
故答案为：
13．
【详解】由，可知在上是递减函数，
故，解得.
故答案为：
14．
【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示，
发现当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，且有3个根，
而关于的一元二次方程最多有两个根，
若方程有六个不相等实根，
则当且仅当关于的一元二次方程有两个不同的根，且，
所以当且仅当，解得，
即实数b的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为且，所以点在第一或第二象限，
又 ，所以在第一象限且，
由三角函数概念知：，
故实数的值为；
（2）①因为角满足，
则，
所以，
又因为，则且，
所以，
由且，有，
所以，
②由①知：，则，
则.
16．(1)
(2)
（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围；
（2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由，得：
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，此时，要满足，
则需或，解得；
综上，实数的取值范围为；
（2）∵q是p的必要不充分条件，
∴⫋，
则或，解得：，
故实数的取值范围为.
17．(1)
(2)当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元
（1）由利润销售收入总成本，对讨论分为和时，求得函数的解析式；
（2）分别运用二次函数的最值求法和基本不等式可得所求最大值和相应的值，比较最值即可得结论．
【详解】（1）当时，
当时，
综上：；
（2）当时，，
∴当时，取最大值（万元），
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当时，取最大值（万元）,
∵，
故当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元.
18．(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值；
（2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性；
（3）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数，
则，可得
可得
解得；
（2）在上单调递减，理由如下：
任取，则，
，，，且，
，即，
所以函数在区间上单调递减；
（3）由于函数且该函数为奇函数且该函数在区间上为减函数，
当时，，
，则函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，则函数在上为减函数，
由，可得出，
所以，解得且，
因此，满足不等式的实数的取值范围是.
19．(1)函数不是“型函数”，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：函数不是“型函数”.
理由：由函数，可得，
即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立，
所以函数不是“型函数”.
（2）解：因为函数是“型函数”，可得，
即对于定义域上的任意都成立，
所以，则.
（3）解：由函数是“型函数”，可得，
令，可得，解得，满足，
又由当时，，
则时，可得，则，
要使得对任意，都有，只需对任意，都有，
令，因为，可得，且，
因为的图象开口向上，且对称轴为，
当时，即时，函数在单调递增，
则满足，解得，所以
当时，即时，函数在单调递减，在递增，
则满足，解得，所以
当时，即时，函数在单调递减，
则满足，解得，所以，
综上可得，满足，即实数的取值范围为.