向量的线性运算练习 中考数学一轮复习（人教版）

这是一份向量的线性运算练习 中考数学一轮复习（人教版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．三条直线a，b，c，若，，则a与b的位置关系是（）
A．B．C．或D．无法确定
2．阅读理解：设，，若，则，即．已知，，且，则的值为
A．B．1或C．或4D．1
3．已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）．
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么或D．如果为单位向量，且，那么
二、填空题
4．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）．
5．如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．

6．如图，在梯形中，，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为 ．
7．如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示）
8．如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么 ．（用向量、表示）
三、解答题
9．如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且
(1)求证：；
(2)设，，用关于、的线性组合表示．
10．已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形．
(1)求证：；
(2)设，，用向量，表示 ．
11．如图，在中，，，，．
(1)求线段的长；
(2)设，
①直接写出关于、的分解式：___________；
②连接，作出在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论）
12．如图，在四边形中，，对角线交于点．
(1)设，试用的线性组合表示向量．
(2)如果，求四边形的面积．
13．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．

(1)设，试用表示；
(2)先化简，再求作：（直接作在图中）．
14．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，．
(1)求的值；
(2)连接，如果，，试用、表示向量．
15．已知：如图，平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且．

(1)求证：；
(2)设，，请直接写出和关于、的分解式： ； ．
《向量的线性运算》参考答案
1．B
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．根据平行线的判定得出即可．
【详解】解：∵三条直线a，b，c，若，，，
∴，
故选：B．
2．B
【分析】根据题中材料定义，由得到，进而列出方程，由十字相乘法分解因式解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，整理得，解得，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义问题，读懂题意，解题的关键是根据新定义得到关于的一元二次方程求解．
3．C
【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键．
【详解】解：、如果，那么，故本选项正确；
、如果，那么，故本选项正确；
、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 ；
、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确；
故选：．
4．
【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，．
是上一点，，
，
，
，
故答案为：．
5．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形是平行四边形，根据已知得出，进而证明得出，，进而根据三角形法则，进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．
根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出，然后根据向量的三角形法则解答即可．
【详解】解：∵是梯形中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由三角形法则得，．
故答案为：．
7．
【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，，，，
，
又∵，
∴
故答案为∶．
8．/
【分析】本题考查平面向量，在中，利用三角形法则求得；然后结合求得；最后在中，再次利用三角形法则求得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）由平行四边形的性质可得，，所以∽，则同理可得，根据相似三角形的判定得到，即可得到结论；
（2）由向量的差可知，，可得所以 ，由此可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴,
同理可得：,
∴,
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
由（1）知，
∴,
∴,
又∵，
∴，
，
．
10．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明，
（）由平面向量的运算法则，即可求解；
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则．
【详解】（1）∵是的重心，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
（2）∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
11．(1)
(2)①，②见解析
【分析】（1）根据据平行线分线段成比例，写出关于、、、的比例式，再求出，问题可解．
（2）①先求得，以，为边作平行四边形，根据，问题可解；②以、为边作平行四边形即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）①如下图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴，，
如图所示，以，为边作平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：
②如下图，以、为边作平行四边形，则和是分别在、方向上的分向量．
【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、平行线分线段成比例定理等知识，数形结合是解题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题．
（1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可；
（2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）过点D作交的延长线于点F，
∵，
∴为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
∴，
∴．
13．(1)
(2)，见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，
根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可．
化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
则，
∵点是的中点，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
（2），
∵，
∴，
过点E作，则，
∴，如图，即为所求．

14．(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可．
【详解】（1）解： ，，，，
，
，
，
．
（2）解：由（1）中可知，
，
，
∴．
15．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）证明，推出，同法得到，进而得到，即可得到；
（2）利用三角形法则表示出，再根据与的数量关系，表示出，即可．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
同理可得，
∴．
∴．
（2）由图可知：，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，以及向量的线性计算，证明三角形相似，掌握三角形法则分解向量，是解题的关键．
题号
1
2
3







答案
B
B
C