微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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1、立体图形中的截面问题：
（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.
2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
【典型例题】
例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，，M为的中点，过作长方体的截面交棱于N，下列正确的是（ ）
①截面可能为六边形
②存在点N，使得截面
③若截面为平行四边形，则
④当N与C重合时，截面面积为
A．①②B．③④C．①③D．②④
例3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．1
例4．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·陕西西安·一模）如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（ ）

①在中点时，平面平面
②异面直线所成角的余弦值为
③在同一个球面上
④，则点轨迹长度为
A．0B．1C．2D．3
例6．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·开学考试）在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
例7．（多选题）（2024·河南·三模）已知正方体的棱长为2，，，，.点P是棱上的一个动点，则（ ）
A．当且仅当时，平面DMN
B．当，时，平面
C．当时，的最小值为
D．当时，过B，M，N三点的截面是五边形
例8．（多选题）（2024·广西柳州·三模）正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当，时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当，时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
例9．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，为异面直线B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使平面D．AP与平面所成角的正弦最大值为
例10．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是

①；
②存在点，使得//面；
③的最小值为；
④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为.
例11．（2024·高三·北京房山·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：
①；
②平面；
③直线与直线所成角的范围是；
④点到平面的距离是.
其中所有正确结论的序号是 .
例12．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体，棱长为2.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；
(3)在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点、、，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值.
【过关测试】
1．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，若将沿BD翻折到的位置，使得二面角为，N为的四等分点靠近D点，已知点，B，C，D都在球O的表面上，过N作球O的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）（2024·江苏徐州·一模）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
6．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．若一个球的体积为，则它的表面积为
B．棱长为1的正四面体的内切球半径为
C．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为
D．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为
7．（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为，是母线的靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C．圆锥的外接球的表面积为D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
8．（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
9．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，，平面与平面所成的角为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面B．三棱锥的体积为
C．点到平面的距离为D．点形成的轨迹长度为
10．（多选题）（2024·湖南·二模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．若点满足，则动点的轨迹长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
11．（多选题）（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
12．（多选题）（2024·江西鹰潭·一模）直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）

A．点的轨迹的长度为.
B．直线与平面所成的角为定值．
C．点到平面的距离的最小值为.
D．的最小值为-2．
13．（多选题）（2024·浙江温州·二模）已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（ ）
A．有最大值，但无最小值B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，同时取到最大值D．有最小值，但无最大值
14．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ）
A．不存在点M，使得
B．的最小值为
C．四棱锥的外接球表面积为5π
D．点M到直线AB的距离的最小值为
15．（多选题）（2024·高三·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）

A．点E、F、G、H共面B．的最小值为
C．点B到平面的距离为D．
16．（多选题）（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．时，截面面积为B．时，
C．随着的增大先减小后增大D．的最大值为
17．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上的动点，则与所成为的范围为
B．若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为
C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为
D．若为侧面上的动点，则存在点满足
18．（多选题）（2024·高三·江苏扬州·期末）棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
19．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点，分别为和的中点，则（ ）

A．直线平面
B．直线与直线为异面直线
C．点到平面的距离为
D．若点为线段上的动点（含端点），则的范围为
20．（多选题）（2024·高三·山东日照·期中）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，P为正方体的内切球上任意一点，则（ ）
A．球被截得的弦长为
B．的范围为
C．与所成角的范围是
D．球被四面体表面截得的截面面积为
21．（2024·高三·全国·专题练习）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ．
22．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ．
23．（2024·高二·四川雅安·开学考试）如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 ．