微专题02 三角函数的范围与最值-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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一、三角函数中的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为周期加半周期的整数倍，即；
4、在区间内单调且
5、在区间内不单调内至少有一条对称轴，
6、在区间内没有零点且
7、在区间内有个零点．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2024·江苏泰州·高三统考期末）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，
的实数解可转化为或的实数解，即，
当时，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
如图所示：
所以时有最大值：
所以时，由图可知，
当时，因为，，
所以，
令，则
则有且，如图所示：
因为时，已有两个交点，
所以只需保证与及与有四个交点即可，
所以只需，解得．
故选：D
例2．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，
零点的个数可转化为与交点的个数，
当时，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
如图所示：
所以时有最大值：
所以时，由图可知必有两个交点；
当时，因为，，
所以，
令，则
则有且，如图所示：
因为时，已有两个交点，
所以只需保证与有三个交点即可，
所以只需，解得.
故选：D
例3．（2024·广东·统考模拟预测）已知函数，则下述结论中错误的是（ ）
A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点
B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增
C．若在有且仅有个零点，则的范围是
D．若图像关于对称，且在单调，则的最大值为
【答案】B
【解析】利用正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一分析判断得解.因为,因为 在有且仅有个零点，所以 ，所以.所以选项C正确；
此时，在有且仅有 个极小值点，故选项A正确；
因为，
因为，所以当时，所以 ，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；
因为图像关于对称，所以 .
如果函数在单调递增，
令，所以 ，
令时，函数的增区间为 ，
所以此时不满足题意，所以该情况不存在.
若在， 单调递减，
则，且 ，，
即，且 ，，
由上面两式可得，，故奇数 的最大值为11．
当时，， ，，．
此时在 ，上不单调，不满足题意．
当时，， ，，，
此时在 ，上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．故选项D正确.
故选：B
例4．（2024·河南·高三校联考期末）在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：D.
例5．（2024·山西临汾·校考模拟预测）在中，点D在上，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，由，得，
设，由，得，
在中，，
在中，，
则，
令，则，
由，解得，由，解得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取得最大值，
因此当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
故选：B.
例6．（2024·山东德州·高三校考阶段练习）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
由正弦定理得，可得，即，
所以，，则，
设，则，且，
在中，且，则，
在中，由，则，
由，即，
又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，
又因为，故当，即时，所以.
故选：B.
例7．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，
因为，故，
又角的平分线交于点，则，故.
故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.
故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.
故选：C
例8．（2024·山东·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点P在边BC上，且．
(1)若，求PB﹔
(2)求面积的最小值．
【解析】（1）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以，解得，
由正弦定理得，即，解得，
所以，，
在三角形ABC中由正弦定理得：，则，
解得，所以；
（2）设，则，由于，则，
在中由正弦定理得：，解得，
过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S，
则，所以，
所以，
所以
即三角形ABC面积的最大值为.
例9．（2024·山东青岛·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)若，求C；
(2)若，且，求的最小值．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或者，
由，得，从而，
由得
，
∴，则，而，故
综上，或；
（2）∵，∴，即，
由（1）知，，
又，∴，
∴，
由正弦定理，，，
，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
例10．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
【解析】（1），
又，则或，
若，则；
若，则，又，不符合题意，舍去，
综上所述.
（2）
①，又②，
①÷②得：
令，又，
，
令
令，
令，
当时，当时，
由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，
同理当时，
所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏南京·高三期末）已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，
所以由题意得：，解得.
故选：D.
2．（2024·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】线段上取点E使得，又，
则，故，
所以，则，
设，则.
由上易知，且，而，
所以，则，
结合及，且，
由三角形内角性质，所以，
综上，.
故选：C
3．（2024·浙江杭州·高三统考期末）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【解析】由已知得，，，
则，
其中，
因为，
当时，
当时，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以，
解得，
即，
所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为.
故选：A.
4．（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
5．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，则，
又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值，
所以当，即时，
只需满足，此时，
当，即时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则，
此时，
综上，，即的取值范围是.
故选：D
6．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
二、多选题
7．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则面积的最大值为
B．若，则面积的最大值为
C．若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3
D．若为的中点，且，则面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，由余弦定理可得，
即，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，所以A错误；
对于B，由余弦定理可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，，则，，
在和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，所以，
，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为3，所以C正确；
对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，
所以，
所以当即时，，D正确.
故选：BCD.
8．（2024·山西·高三期末）函数，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则在内恰有3个零点
B．若，则在内恰有3个极值点
C．若在内有最小值点，则
D．若在区间单调，则
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，其零点满足，故，
故，其中在区间内恰有3个，故A正确；
对于B，当时，，其极值点满足，故，
故，其中在区间内只有2个，故B错误；
对于C，的最小值点满足，解得，
因为，则最小值为，令，得，故C正确；
对于D，的极值点满足，即，
若在单调，需（*），
由得，即，
当时，解得；当时，解得；
当，解（*）得，又，故；当时，对应的均为负值，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数，，下述五个结论：①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增
；④若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；⑤若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是 .
【答案】①③④
【解析】画出的大致图象，即可判断①②；
对于③，由题可得，当时，，所以，故判断③；
对于④，由得范围，故可判断④；
对于⑤，由题知，又在上单调，所以，，将，代入验证即可.①若，在上有5个零点，可画出大致图象，
由图3可知，在有且仅有3个极大值点，故①正确；
②若，且在有且仅有4个零点，同样由图可知在有且仅有2个极小值点，故②错误；
③若，由在上有5个零点，得，即，当时，，所以，所以在上单调递增，故③正确；
④若，因为，∴，∴，因为在有且仅有4个零点，所以，所以，所以④正确；
⑤若的图象关于对称，为它的零点，则(，T为周期)，
得，又在上单调，所以，，
又当时，，，在上不单调；
当时，，，在上单调，满足题意，故的最大值为9，故⑤不正确.
故答案为：①③④
10．（2024·四川成都·高三石室中学开学考试）函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得，
令，即恰有三个实根，
三根为：①
，k
∵，∴
∴
或，
当k=-1时，解得的范围为
故答案为
11．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，点为内一点，，，，过点作直线分别交射线，于，两点，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】如图：
设，，则.
在中，由正弦定理得：；
同理，在中，.
所以
（当且仅当时取等号）
故答案为：
12．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则面积的最大值为 .
【答案】
【解析】以E为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，A在圆①：上，
D在圆②：上，
作圆③：，
延长交圆③于点F，则，
所以.
设直线与圆②交于点G，
取，连接，，得，
则，则，
为圆②内接三角形，当且仅当为正三角形时，最大，
此时，所以的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：
13．（2024·天津·高三统考期末）已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】 4
【解析】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，
则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：4；.
14．转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
15．整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）在中，，，当取最大值时， ．
【答案】
【解析】设，，，
，，
，
，
，
，
，
，其中，
，，，
当时取最大值，
，
，
，
，
即的值为.
17．（2024·重庆·高三校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，，，满足，，则 ，的面积最大值为 ．
【答案】 12 3
【解析】由可得，
由，则，，
因为，所以，故，
又，，
则，
因为，所以，
则，
即，
故，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
则，则；
因为，
则，
则，
当且仅当，即时取得等号．
故，面积最大值为．
故答案为：12，3
18．（2024·全国·高三成都七中校联考开学考试）的外心为，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则面积的最大值是
【答案】
【解析】
取边的中点，连接、，
∵为的外心，
∴，即，
∵为边的中点，
∴为边的中线，，
∴
，
又∵，
∴，整理得，
∴由余弦定理可得，∴，
又，由余弦定理，即，
∴由基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，
∴的面积，
即当且仅当时，面积的最大值为.
故答案为：.
19．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为函数，
对都有，且是的一个零点，
则，解得,
因为函数在上有且只有一个零点，
则方程在上有且只有一个根，
因为，所以，存在唯一的，使得函数取到最大值，且，
则，解得，
令，则，且，
所以，、的奇偶性相同，
由可得，解得，即，
当时，，为奇数，则，所以，，
由可得，
此时，当或时，函数取最大值，不合乎题意；
当时，，为偶数，，即，
由可得，
此时，当时，函数取最大值，合乎题意.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
20．（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）在锐角三角形中，角所对的边为，且.若点为的垂心，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据，
由正弦定理得，，
因为锐角三角形，所以，
，
又，
，易知，，又，所以，
然后利用面积公式和和差角公式求解即得.
如图，连接AH并延长，与BC交于点D，延长CH与AB交于点E，则，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
又，
，又，
所以，
，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以， ，
故答案为：
21．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，，且，是函数的两个零点，，若函数在区间上至少有个零点，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，，，
所以
，
令，即，
故当，是的两个零点时，为的一个周期，
即，解得，故有，
令，则，令，
因为在区间上至少有个零点，
则在区间上至少有个不等根，
即与在区间上至少有个交点，其中，，
由图可知，即，
，的最小值为.
故答案为：．
22．（2024·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 .
【答案】16
【解析】由题设，
所以，
所以，即，
又，，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
23．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知为的内切圆圆心，，，成等差数列，则的最小值等于 .
【答案】/
【解析】设角的对边为，由已知得，
故，由余弦定理得，，
即，当且仅当时等号成立，
又，
，所以，
又，所以，
故答案为：
24．（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为 .
【答案】16
【解析】依题意，，设，
依题意是角A的角平分线，，
由三角形的面积公式得，
整理得，则，
所以
.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
25．（2024·全国·模拟预测）在中，，D为边BC上一点，满足且，则面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
故，又，故，
所以AD是的平分线．
记，，，则，又因为，
由面积公式可得，
化简得，
因为，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为：
26．（2024·河北唐山·模拟预测）已知为与的交点，若为等边三角形，则正数的最小值为 ．
【答案】/
【解析】如下图所示：
由题意联立与得,所以，
所以不妨依次设，则中点，
因为边三角形边长，不妨设，
又因为，因此，解得，
结合可知当且仅当时，正数取最小值.
故答案为：.
四、解答题
27．（2024·山西运城·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知

因为是锐角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以实数的取值范围是.
28．（2024·全国·高三专题练习）在中，．
（1）D为线段上一点，且，求长度；
（2）若为锐角三角形，求面积的范围．
【解析】（1）在中，依题意得：，
则有，于是得，而，则，
又，则，
在中，从而得等边，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，设，由正弦定理得：
，
于是得，
因是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，，
从而得，
所以面积的取值范围是．
29．（2024·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分）
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若__________．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
【解析】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由余弦定理得，化简得，
即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又代入上式得：
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
30．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，在中，是上的点，．
(1)若，求证：；
(2)若，求面积的最大值．
【解析】（1）由，知，
，
结合题设，即，
两边同除以，得；
（2）设，则，
中，由正弦定理，得①，
中，由正弦定理，得②，
②÷①，结合，得，
即
，
设，即求函数的最大值，
，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
当时，函数有最大值，
此时，
面积的最大值为.
31．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形中，为边的中点．

(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
【解析】（1）因为，，由余弦定理可得，
，
则，且，，所以，
则的面积为.
（2）
取线段的中点为，连接，
设，，因为，
由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，，则，
因为分别为的中点，所以，且，
所以，且，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
由可得，，
所以当时，即时，取得最大值，
所以的最大值为.
32．（2024·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形中，，，，.

(1)若，求；
(2)求的最大值.
【解析】（1）由题意知，，，所以.
在中，，，
所以.
在中，由余弦定理得，
，
所以.
（2）过点作于点，由，，，，
可得，，
设，当时，点在点的右侧，如图①，，则.
当时，点在点的左侧，如图②，，则.
又，所以当，且时，
.
当时，点与点重合，，满足上式，
所以，其中.
令，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值，
因为，所以为锐角，
所以当时，取得最大值.