天津市第六十一中学2025_2026学年上学期九年级数学第一次月考试题-附解析

这是一份天津市第六十一中学2025_2026学年上学期九年级数学第一次月考试题-附解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（ ）
A. 1B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，再求解即可．
【详解】解：，
，
解得，
故选：C．
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
得或，
解得：，
故选：D．
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：，
，
则，
即，
故选：D．
4. 设是方程的两个根，则有( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列式计算即可． 一元二次方程的根与系数的关系是：．
【详解】∵是方程，
∴
故选∶B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是：是解题的关键．
5. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ）
A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位
C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【详解】解：根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），
而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），
∴平移方法为：向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键．
6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
【答案】B
【解析】
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，
判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键．
7. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A. y3＜y2＜y1B. y2＜y1＜y3C. y3＜y1＜y2D. y1＜y2＜y3
【答案】D
【解析】
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程
A. 甲错，丙对B. 甲对，乙错C. 甲对，丙错D. 乙和丙都对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确；
乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确；
丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误．
故选：C．
9. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
故选：A ．
10. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，
【详解】∵赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，
∴共7×3=21场比赛
设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：
故选择：C
11. 如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线的性质及图象，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将点代入抛物线，可得，根据，推出，与四个选项一次对比即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线过点，
∴，即，
∵，
∴，
A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意；
B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意；
C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意；
D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意；
故选：D．
12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论：
①滑行的时间为时，滑行的距离是；
②飞机停下前最后内滑行的距离是；
③飞机着陆后滑行了才停下来．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得．
【详解】解：∵，
∴当时，，
即滑行的时间为时，滑行的距离是；
当时，s有最大值，此时，
∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m，
∴飞机前10秒滑行的距离为，
即飞机停下前最后内滑行的距离是
当时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
所以，正确的结论是①③，共2个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 若是二次函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义。由定义得出自变量的最高指数是2，且二次项的系数不为0列出方程求解即可。
【详解】解：由题意得，，
解得.
故答案为：±2 ．
14. 抛物线与轴交点坐标为______。
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线与轴的交点坐标，令即可求解；
【详解】解：令，则；
∴抛物线与轴交点坐标为；
故答案为：
15. 用配方法将二次函数化为的形式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，运用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为______．
【答案】k＜−
【解析】
【分析】利用根的判别式b2−4ac＜0可得关于 k的不等式，求解即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴b2−4ac＜0，
即（−4）2−4×3•（−k）＜0，
解得k＜−．
故答案为：k＜−．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
17. 二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论：
①：②当时，：③；④（m为任意实数）；其中正确结论的个数是______个。
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口向上，推出；由对称轴为直线，推出；由抛物线与轴的交点在负半轴，推出；即可判断①；根据当时，；推出由对称性可知：当时，：得当时，、、都有可能，即可判断②；由图象可知：当时，：推出，；，即可判断③；由图象可知：当，；对于任意的实数，都有，即可判断④；
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴；
∵抛物线与轴的交点在负半轴，
∴；
∴，故①错误；
∵当时，；
∴由对称性可知：当时，：
∴当时，、、都有可能：故②错误；
由图象可知：当时，：
∵，
∴，；
∵；
∴，即，故③错误；
由图象可知：当，；
∴对于任意的实数，都有，
即，
∴，故④正确；
故答案为：
18. 已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可．
【详解】∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大，
∵，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小，
∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
故答案为：或．
三、解答题（共66分）
19. 解下列一元二次方程
（1）（4分）
（2）（4分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴；
20. 二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
（1）该二次函数图象的顶点坐标______；对称轴是直线______；与x轴交点坐标______。
（2）求该二次函数的解析式；
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，合理利用表格数据是解题关键；
（1）由推出对称轴是直线：；进而得顶点坐标为；设二次函数的解析式为，将代入即可求解；
（2）由（1）即可求解；
【小问1详解】
解：由表格数据可知：二次函数经过点，
∴对称轴是直线：；
∵二次函数经过点，
∴顶点坐标为；
设二次函数的解析式为，
将代入得，解得：，
∴；
令，由解得：；
∴与x轴交点坐标为：
【小问2详解】
解：由（1）得：该二次函数的解析式为；
21. 已知关于x的方程x2+2x+a+2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案】（1）a的取值范围是a＜﹣1；（2）a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3
【解析】
【分析】（1）关于x的方程x2+2x+a+2＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围；
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根
b2﹣4ac＝22﹣4×1×（a+2）＝﹣4﹣4a＞0，
解得：a＜﹣1．
∴a的取值范围是a＜﹣1；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，
解得：，
则a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．
22. 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？
【答案】围成的矩形的长为，宽为时，可使得面积为；
【解析】
【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，设围成的矩形的长为，则宽为，列出方程，即可求解；
【详解】解：设围成的矩形的长为，则宽为，
∴，
解得：；
此时或；
即：围成的矩形的长为，宽为时，可使得面积为；
23. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C.
（1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是______；
（2）不等式的解集是______.
（3）若关于的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是.
（4）当时，x的取值范围是______.
【答案】（1），
（2）或
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握数形结合的能力是解题关键；
（1）令，得点C的坐标是；由得顶点P的坐标是；
（2）求出抛物线与轴的交点坐标，结合开口方向即可求解；
（3）画出函数图象，可知若抛物线与直线有两个不同的交点，则；
（4）抛物线与直线的交点坐标分别为；由图可知：当或，抛物线夹在直线和直线之间，即可求解；
【小问1详解】
解：令，则，故交点C的坐标是；
∵，
∴顶点P的坐标是；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：令，由解得：；
∴抛物线与轴的交点坐标分别为；
∵，抛物线的开口向下，
∴当或时，；
即不等式的解集是：或；
故答案为：或；
【小问3详解】
解：若抛物线与直线有两个不同的交点，则；
即若关于的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是：；
故答案为：；
【小问4详解】
解：令，由解得：；
∴抛物线与直线的交点坐标分别为；
由图可知：当或，抛物线夹在直线和直线之间，
即当时，x的取值范围是或；
故答案为：或；
24. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？
（3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价为90元
（3）最大利润是10000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式；
（2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值；
（3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
小问1详解】
解：由题意得：，
整理得：；
答：与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），
答：该玩具销售单价为90元；
【小问3详解】
解：由题意得：，
解得：；
∵，，
∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000；
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
25. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点：
（1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）存在，，最大面积为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握函数相关性质是解题关键；
（1）令，可求出；设抛物线的解析式为：，将代入即可求解；
（2）由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称，故；推出当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小；即可求解；
（3）作轴，设点，则，根据即可求解．
【小问1详解】
解：令，则；令，则；
∴，；
设抛物线的解析式为：，
将代入得：，解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由二次函数对称性可知：点关于对称轴直线对称，
如图所示：
∴；
∴当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小；
当时，；
即此时点M的坐标为；
【小问3详解】
解：作轴，如图所示：
设点，则，
，
∵，
∴当，即点时，有最大值，且最大值为．
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x2﹣4x+2
2
0.25
﹣1
﹣1.75
﹣2
﹣1.75
﹣1
0.25
2
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
m
…