四川省内江市第六中学2025—2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意， .
故选：A
2. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断.
【详解】命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：C
3. 若 ，则 的最小值是（ ）
A. 36 B. 13 C. 12 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，当且仅当 时，即当 时取等号，
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所以当 时， 有最小值 ，
故选：C
4. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ， 即可求出.
【详解】 且 ，得 且 ，
则函数 的定义域为 .
故选：C
5. 已知函数 是偶函数，则 单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的对称性求参数 ，再得单调增区间.
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 的图象关于 轴对称，
所以对称轴为直线 ，即 ，则 ．
所以 ，
所以 的单调增区间是 ．
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故选：B.
6. 函数 的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数 定义域为 ，且 ，故函数为奇函数，故排
除 BD，
由 ， ，故 C 错误，
故选：A.
7. “ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，根据 的范围确定导数大于 0 时 的范围，进而根据充分条件、必要条件的定义确定
答案.
【详解】对函数求导得
当 时， ，此时函数在 上单调递增，
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所以“ ”是函数 在 上单调递增的充分条件；
令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，经验证当 时，此时 ，在 上单调递增，符合题
意，
则 无法推出 ，
也就是说，函数 在 上单调递增推不出“ ”，
综上，“ ”是函数 在 上单调递增的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知定义在 上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ；②
，当 时，都有 ；③ .则下列选项不成立的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断 A；解不等式可判断 B 和 C；结合函数单调性判断
函数的最值可判断 D.
【详解】由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递减，
所以 在 单调递增，又 ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， .
对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 ，即 ，
解得 或 ，故 B 正确；
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对于 C，若 ，则 或 ，
即 或 ，
解得 或 ，故 C 错误；
对于 D，因为定义在 上的函数 的图象是连续不断的，
且在 上单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以对 ，只需 即可，故 D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据已知条件得到函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解题.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断.
【详解】因为 ，所以 ，故 A 正确；
因为 ，所以 不成立，故 B 错误；
因为 ，所以 ，故 C 错误；
因为 或 ，所以 ，故 D 正确；
故选：AD.
10. 已知关于 x 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式 的解集为
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C. 不等式 的解集为 或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可知 ，故 A 正确；由韦达定理可知 ， ，结合 即可求解不等式
，从而验证 B；由 B 选项分析可知不等式 等价于 ，解不等式即可
验证；由 B 选项分析可知 ，故 D 错误.
【详解】因为不等式 的解集为 ，所以 ，A 正确；
由题意，方程 的两根是 ， ，
由韦达定理： 得： ， ， 等价于 ，
所以 ，B 错误；
不等式 等价于 ，即 ，解得： 或 ，C 正确；
因为 ， ，所以 ，D 错误.
故选：AC.
11. 定义在 的函数 满足 ，且当 时， ，则（ ）
A. 是奇函数 B.
C. D. 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据赋值可以求得 ，令 ，可得 ，即得奇函数， 正确；赋值
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，可得 正确；根据单调性定义，判断 在 为增函数，可得 正确；再利用赋值和
函数单调性确定 错误.
【详解】对于选项 ，令 ，则 ，
令 ， ，则 对 恒成立，
则函数 为奇函数，故 正确；
对于选项 ，令 ， ，
即 ，故 正确；
对于选项 ， ，设 ，则 ，
，则
则 ，则 ，
即函数 在 为增函数，故 正确；
对于选项 ， ，因为 为增函数，则 ，
则 ，故 错误.
故选： .
【点睛】抽象函数问题解决策略：
赋值法求函数值或者判断不等关系；
抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造 ，比较其和 的大小（或者构
造 ，比较其和 的大小），进而确定单调性.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分）
12. 不等式 的解集为：___________．
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【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法，即可求得答案.
【详解】由 可得 ，则 .
故答案为：
13. 已知 是幂函数，且在 上单调递增，则 ________.
【答案】27
【解析】
【分析】利用幂函数的定义和性质，求解即可.
【详解】因为 是幂函数，且在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：27.
14. 已知函数 、 的定义域均为 ， 是偶函数， 是奇函数，且
， ，则 __________， __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】推导出 ，令 ，可求得 的值；在等式 中，
令 ，可求得 的值，推导出 ，令 ，可求出 的值.
【详解】因为函数 为奇函数，则 ，
可得 ，所以，函数 的图象关于点 对称，
则 ，
令 可得 ，故 ，
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因为 ，则 ，
因为函数 为偶函数，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
所以， ，令 ，可得 ，则 .
故答案为： ； .
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求函数值，可利用以下结论来转化：
①函数 的图象关于点 对称，则 ；
②函数 的图象关于直线 对称，则 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 化简或求值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可.
（2）根据指数幂运算求解即可.
【小问 1 详解】
原式
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；
【小问 2 详解】
原式
．
16. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得.
（2）分类讨论 和 两种情况，分别求出对应的 的取值范围即可；
【小问 1 详解】
当 时 ，又 ，
所以 ， ；
【小问 2 详解】
当 时，由 ，解得 ，满足 ，符合题意；
当 时，可得 或 ，解得 或 ．
综上，实数 的取值范围是 或 ．
17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单位：百元）
满足如下关系：投入的肥料费用不超过 6 百元时， ；投入的肥料费用超过 6 百元且不超过 10
百元时， ．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元．已知这种梨的
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市场售价为 18 百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为 （单位：百元）．
（1）求利润 函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为 2 百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是 52 百元
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；
（2）当 时，由基本不等式求解；当 时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.
【小问 1 详解】
由题意， ，
即 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最大值 52；
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，
所以当投入的肥料费用为 2 百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是 52 百元．
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18. 已知奇函数 经过 点.
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性并用定义进行证明；
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 为奇函数求出 的值，根据 的图象经过点 求出 即可求解；
（2）利用单调性的定义判断即可；
（3）由已知得 ，根据单调性求出最值即可求解.
【小问 1 详解】
因为 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，得 ，
所以 ， ，
因为函数 经过 点，所以 ，解得 ，
所以 ；
小问 2 详解】
， ，
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，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
【小问 3 详解】
因为存在 ，使得不等式 成立，
则 ，
由（2）知，函数 在 上单调递增，且 为奇函数，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ；
令 ， ，
的图象开口方向向上，对称轴方程为 ，
当 时， ，
所以 ，解得 或 ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，解得 或 ，所以 ，
综上， 或 ，
所以实数 m 的取值范围为 .
19. 函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，可以将其推
广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．
（1）定义在 R 上的函数 的图象关于点 中心对称，且当 时， ，求
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的值；
（2）已知函数 ，若 图象关于点 成中心对称图形，求实数 的值；
（3）对于函数 ，设 为方程 的两个非零实根，若
，使不等式 成立，求实数 t 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性运用赋值法计算可得；
（2）由题可得 为奇函数，即可得答案；
（3）由题可将 化 ，然后求出 可得答案.
【小问 1 详解】
∵当 时， ， ，
由 的图象关于点 中心对称，得 为奇函数，
，即
令 得
令 得 ，
【小问 2 详解】
因函数 图象关于点 成中心对称图形，由题可得：
为奇函数，
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则 恒成立
【小问 3 详解】
.
由题意得 也为 的两个非零实根，
则 ，
则 .
，使 ，
.
即实数 的取值范围是 .
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