宁夏回族自治区银川一中2026届高三上学期期中考试数学试题及答案

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1．A
【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选：A.
2．D
【详解】由
得：，
所以，
故选：D
3．D
【详解】解：由等价于，解得，即，由，即，解得，所以，所以推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D
4．C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
5．A
【详解】命题①：若，，则，或，
又，所以，①正确；
命题②：若，，则，或，
又，此时与可能平行，也可能相交，②错误；
命题③：若，，则，或，
又，此时与可能平行，也可能相交，③错误；
命题④：若，，则，
又，所以，④错误；
所以正确的命题个数是1.
故选：A
6．B
【详解】构造函数，令，
当，，函数在上单调递减，
当，，在上单调递增，所以，从而.
故选：B．
7．C
【详解】由，
则，所以，
即，
所以或，
解得：或，
因为，所以，或，
所以的零点之和为，
故选：C.
8．C
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
则由题意知，，为正方形外接
圆的圆心，
又因为面面，面面，面，
所以面， 同理面，
设等边的外接圆的圆心为，
过作的平行线交过且与平行的线于点O，
则面，面，
所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为，
方法1：等边的外接圆半径为
，
方法2：在等边中由正弦定理得，解得，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C.
9．ACD
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，由余弦定理得，即，
而，解得，B错误；
对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；
对于D，有两解，则，而，因此，D正确.
故选：ACD
10．AC
【详解】因为数列等比数列的公比为且，则，
所以，，，
又因为，则，所以，，从而，
故对任意的，，由可得，A对B错；
，，即，C对D错.
故选：AC.
11．CD
【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，
动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；
对于B，因为，而等边的面积为定值，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，
易知点是正方体到平面距离最大的点，
所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，
其高为，所以，B错误；
对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为平面平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.
故选：.
12．/
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，
故答案为：
13．
【详解】由函数的图象关于中心对称，则.
又因为在上单调递减，所以时，，
且在上单调递减，且，可得在上单调递减.
又因为，所以可得，
则，得.
故答案为：.
14．43π3
【详解】由，得，则，
则为偶函数，
所以，
又，则，解得，
所以，故，
可得.
由得，故或，
解得或，
所以相邻两个零点之间的距离为或.
若最小，则和都是零点，
此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间上恰有29个零点，从而在区间上至少有1个零点，
所以，所以的最小值为.
15．（13分）
(1)
(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值
【详解】（1）， ……1分
则， ……2分
由题意可得， ……3分
解得； ……4分
（2）由，故， ……5分
则，， ……7分
故当时，，当时，，当时，，……10分
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， ……11分
故有极大值， ……12分
有极小值. ……13分
16．（15分）
(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）连接交于点，连接． ……1分
因为底面为菱形，所以为的中点． ……2分
又因为平面，平面，平面平面，
所以， ……5分
所以为的中点. ……6分
（2）取中点，连接． ……7分
在菱形中，，所以，则为正三角形，
所以，又，所以．
又因为平面，如图建立空间直角坐标系． ……8分
设， ……9分
则，，，，
则，，，
则平面的一个法向量为． ……11分
设平面的一个法向量为，
则，取， ……13分
因为二面角的余弦值为，
所以， ……14分
解得（负值已舍去），
所以． ……15分
17．（15分）
(1)或 (2)
【详解】（1）
， ……1分
即 ……2分
又，即得 ……4分
又或 ……6分
（2）角为钝角， ……7分
由余弦定理得： ……9分
角为钝角，， ……11分
即 ……12分
……15分
18．（17分）
(1) (2)证明见解析 (3)
【详解】（1）由，得，
即，解得． ……1分
若，则； ……2分
若，则由得， ……3分
两式相减得，
化简得， ……4分
所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此，
当时，也满足上式，故 ……5分
（2）因为，所以，则， ……6分
因此
． ……8分
又因为，且，故， ……9分
因此，． ……10分
（3）由（1）得，则，即， ……11分
令（，），
因为对任意正整数n都有成立，所以， ……12分
因为，
所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减． ……14分
又，且，，
， ……15分
所以， ……16分
因此，解得． ……17分
19．（17分）
(1)①证明过程见解析，② (2)证明过程见解析
【详解】（1）①在恒成立， ……1分
故在上单调递增， ……2分
故，证毕； ……3分
②，恒有，
故为偶函数， ……4分
当时，， ……5分
由①可知，在上恒成立，
又，故在上恒成立， ……6分
故在上单调递减， ……7分
故，， ……8分
结合函数在上为偶函数可得，函数值域为； ……9分
（2）因为，，
所以， ……10分
其中，故只需证明， ……11分
因为，，
所以， ……12分
由（1）可知， ……13分
上式两边取倒数得，故， ……15分
于是
，， ……16分
所以（）. ……17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
A
B
C
C
ACD
AC
题号
11








答案
CD