北京市第三十一中学七年级上学期数学期中考试题 （解析版）-A4

这是一份北京市第三十一中学七年级上学期数学期中考试题 （解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间 100分钟 试卷满分100分）
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴与不互为倒数，故A错误；
B．∵，
∴与不互为倒数，故B错误；
C．∵，
∴与互为倒数，故C正确；
D．∵，
∴与不互为倒数，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．
2. 北京大兴国际机场航站楼形如展翅的凤凰，航站楼主体占地面积1030000平方米. 将1030000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将1030000用科学记数法表示应为1.03×106，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A. Φ45.02B. Φ44.9C. Φ44.98D. Φ45.01
【答案】B
【解析】
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【详解】∵45+0.03=45.03，45-0.04=44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03．
∵44.9不在该范围之内，
∴不合格是B．
故选：B．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据乘方的运算方法计算即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方的运算，解题关键是明确乘方的意义，准确进行计算．
5. 用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据“m的3倍与n的差的平方”，得，即可作答．
【详解】解：依题意，用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，
则，
故选：B
6. 下列计算中正确的是（ ）
A. 5a+6b＝11abB. 9a﹣a＝8
C. a2+3a＝4a3D. 3ab+4ab＝7ab
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断是不是同类项，然后再看是否合并正确．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，不符合题意；
B．应该为8a，不符合题意；
C．不是同类项，不能合并，不符合题意；
D．合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，能够正确判断同类项是解题的关键．
7. 已知，则代数式的值为（ ）
A. －3B. －4C. －5D. －7
【答案】A
【解析】
【分析】首先将所求代数式转换为含有已知代数式的形式，然后代入即可得解.
【详解】根据已知，得
故答案为A.
【点睛】此题主要考查利用已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题.
8. 下列计算正确的是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意
故选：C
【点睛】此题考查有理数的混合计算，关键是根据法则进行计算．
9. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【详解】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键，又利用了有理数的运算．
10. 定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由新定义可得：，利用新定义逐一计算判断，从而可得答案．
【详解】解：根据新定义可得： ，故①不符合题意；
，故②符合题意；
∵，
∴，
解得：，故③符合题意；
∵，
，
∴，故④符合题意，
综上所述，正确的序号有②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键．
二、填空题（共10道小题，每题2分，共20分）
11. 的相反数是 __________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题看了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：的相反数是5，
故答案为：5
12. 1.804精确到百分位的结果是__________．
【答案】1.80
【解析】
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：1.804精确到百分位的结果是1.80；
故答案为：1.80．
【点睛】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是解题的关键．
13. 单项式的次数是_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据单项式的次数的定义进行解答即可.
【详解】解：单项式的次数是4
故答案为：4
【点睛】本题考查单项式的次数的定义，掌握单项式的次数指的是单项式中所有字母指数的和，是本题的解题关键.
14. 绝对值大于1又小于4的整数有_________个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据绝对值的意义即可找出绝对值大于1小于4的整数
【详解】解：绝对值大于1又小于4的整数有：±2；±3，共4个
故答案为：4
【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义，找出所有符合条件的数是解题的关键．
15. 比较大小：_____ （填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
16. 写出一个单项式，使得它与多项式的和为单项式：______.
【答案】答案不唯一，如
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则即可求解.
【详解】∵+（）=2n为单项式，
故填：（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减运算法则.
17. 与是同类项,则m=_____,n=_____________.
【答案】 ①. 4 ②. -1
【解析】
【分析】根据同类项的定义“如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项”即可得出答案.
【详解】由同类项的定义得：
解得：
故答案为：；.
【点睛】本题考查了同类项的定义，熟记定义是解题关键.
18. 历史上数学家欧拉最先把关于多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示.例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可得，可得，再根据即可得出结论
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：4
【点睛】本题考查了求代数式的值，整体代入的思想是解题的关键
19. 一件商品的包装盒是一个长方体（如图1），它的宽和高相等.小明将四个这样的包装盒放入一个长方体大纸箱中，从上面看所得图形如图2所示，大纸箱底面长方形未被覆盖的部分用阴影表示.接着小明将这四个包装盒又换了一种摆放方式，从上面看所得图形如图3所示，大纸箱底面未被覆盖的部分也用阴影表示.
设图1中商品包装盒的宽为a，则商品包装盒的长为___________，图2中阴影部分的周长与图3中阴影部分的周长的差为____________（都用含a的式子表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先根据摆放方式可以得出商品包装盒的长，长方体大纸箱的长和宽，然后即可求出阴影部分的周长.
【详解】根据图3的摆放方式可得长方体的长等于两个宽，
即商品包装盒的长为2a
由两种摆放方式，得
长方体大纸箱的长为4a，宽为3a
图2中阴影部分的周长为：
图3中阴影部分的周长为：
其差为：
故答案为2a；2a.
【点睛】此题主要考查长方形的性质以及整式的加减运用，解题时要充分结合所给图形理解题意.
20. 已知a为不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是 ，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推……，则_____， _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2025除以3，根据得数的情况确定出与相同的数即可得解．本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
…
∴数列以、、三个数以此不断循环，
∵，
∴，
故答案为：；．
三、计算题（共2道小题， 21题16分， 22题10分，共26分）
21. 有理数计算
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）1 （2）
（3）2 （4）8
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除运算法则计算即可；
（3）利用乘法分配律计算；
（4）先计算乘方，再乘除，最后进行加减计算．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
22. 整式计算
（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1），
（2）15
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案；
（2）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：
，
当时，
原式
；
【小问2详解】
解：
∵，
∴．
四、解答题（共4道小题，每题6分，共24分）
23. 已知，互为相反数，，互为倒数，，求的值．
【答案】或0
【解析】
【分析】此题考查了绝对值的定义，相反数的定义，倒数定义，根据相反数、倒数、绝对值得到，代入计算可得答案．
【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，，
∴，
当时，；
当时，．
24. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5．
（1）请确定乙村相对于甲村的具体方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发地最远处有多远？
（3）为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？
【答案】（1）乙村在甲村的东边20千米；（2）25千米；（3）37升．
【解析】
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则乙村在甲村的东方，若结果为负数，则乙村在甲村的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，即为冲锋舟油箱容量．
【详解】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴乙村在甲村的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12|+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故油箱容量至少为：37升．
【点睛】本题考查了正数与负数的定义，解题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
25. 我们已经学过有理数的加减乘除以及乘方运算，下面再给出有理数的一种新运算—“运算”，定义是．根据定义，解决下面的问题：
（1）计算：；
（2）我们知道，加法具有交换律，请猜想“运算”是否具有交换律，并说明你的猜想是否正确；
（3）类比数的运算，整式也有“运算”．若的值为，求．
【答案】（1）5；（2）“运算”也具有交换律. （3）
【解析】
【分析】（1）根据题目定义的运算方式计算即可.
（2）将中的调换位置重新运算后与原式比较即可.
（3）按照题目定义的运算方式代入之后转化为方程,解之即可.
【详解】解: （1）.
（2）由题意得,
故“运算”也具有交换律.
（3）
由题意得,
解得:
【点睛】本题以定义新运算的方式考查有理数的运算与整式的运算,理解题意,熟练掌握运算法则是解答关键.
26. 现规定一种新的运算，
（1）计算；
（2）若，求的值；
（3）若的值与无关，求的值．
【答案】（1）2；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目所给定义，利用有理数的四则运算法则求解即可；
（2）根据题意可得，由此解方程即可；
（3）根据题意可得，再根据其值与n无关求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得；
（3）
，
∴，
∴，
∵的值与n无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解一元一次方程，整式加减中的无关型问题，准确读懂题意是解题的关键．
五、附加题（共2道小题， 每题5分，共10分，卷面满分不超100分）
27. 当前计算机常用数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如101102．
（1）类比十进制的计数原理：，把一个二进制数转化为十进制数的方法为：．
请你将二进制数转化为十进制数：则______；
（2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数302转化为二进制数：
302÷2＝151余0
151÷2＝75余1
75÷2＝37余1
37÷2＝18余1
18÷2＝9余0
9÷2＝4余1
4÷2＝2余0
2÷2＝1余0
1÷2＝0余1
所以302＝1001011102．
请你将十进制数101转化为二进制数，则101＝_____2
（3）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．
二进制的四则运算口诀如下：
加法：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝102．
减法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，102－1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）．
乘法：0×0＝0，1×0＝0，0×1＝0，1×1＝1．
除法：0÷1＝0，1÷1＝1．
请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空：
①101102＋11012＝_______2；
②1101012－111102＝______2；
③11012×1012＋101012×1112＝______2．
【答案】（1）19，（2）1100101，（3）①100011；②10111；③11010100．
【解析】
【分析】（1）按照例子进行计算即可；
（2）按照例子进行计算即可；
（3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可；
②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可；
③根据二进制的运算口诀计算乘法，再由二进制加法运算口诀进行相加即可．
【详解】（1）
故答案为：19
（2）101÷2=50余1，50÷2=25余0，25÷2=12余1，12÷2=6余0，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1，所以101=11001012
故答案为：1100101
（3）①101102＋11012＝1000112
故答案为：1000112
②1101012－111102＝101112
故答案为：101112
③11012×1012＋101012×1112＝10000012+100100112=110101002
故答案为：110101002
【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子及二进制的四则运算法则是关键．
28. 在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点.
如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点.
（1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________.
（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒.
①当PQ=7时，求t值.
②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值.
【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8
【解析】
【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可；
（2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可；
②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可.
【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a
由得，
解得
设线段AB的外相关点表示的数为b
由得，
解得
故答案为：和；
（2）①运动时间为t秒
点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧
则
当时，，解得；
②同（1）可得：内相关点M表示的数为
外相关点N表示的数为
由相反数的定义得，
解得
故t的值为1.8.