天津北京师范大学静海附属学校九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份天津北京师范大学静海附属学校九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
考试时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（共20小题，每题3分，共60分）
1. 圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆内C. 点A在圆外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2. 如图，在6×6的正方形网格中，有6个点，M，N，O，P，Q，R（除R外其余5个点均为格点），以O为圆心，OQ为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A. MB. NC. PD. R
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：


故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：
3. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB的度数为（ ）

A. 60°B. 45°C. 30°D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，∠AOB=60°，
则∠APB=∠AOB=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A. 4B. 8C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案.
【详解】∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，
∴OA=OB=4，
故选A．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
5. 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数即可．
【详解】∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，
∵∠BOC 与∠BDC 都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
6. 用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设（ ）
A. 等腰三角形底角是直角
B. 等腰三角形的底角是直角或钝角
C. 等腰三角形的底角是钝角
D. 底角为锐角的三角形是等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】用反证法证明命题的第一步就是假设命题的反面成立，而锐角的反面就是直角或钝角，据此即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，
第一步可以假设：等腰三角形的底角是直角或钝角．
故选：B．
【点睛】本题考查了用反证法证明命题的方法，理解原命题的结论的反面是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点P与原点O的距离，然后再根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】∵点P的坐标是(3，4)，
∴OP==5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
8. 如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ）
A. 23°B. 44°C. 46°D. 57°
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由切线的性质可得由圆周角定理可求得的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
9. 如图，是的直径，弦于点，则半径为( )
A. 2B. 3C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设的半径长为r,得到,由垂径定理推出，由勾股定理得到，然后解方程即可解答．
【详解】解：设的半径长为r，得到,
∵弦于点，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意列出关于半径的方程是解答本题的关键．
10. 下列四个命题中，正确的个数是( )
①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部.
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念逐项判断即可，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念和性质是解题的关键．
【详解】①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，错误；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，正确；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，正确；
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
⑤三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；
故选B．
11. 下列说法中正确的个数有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义一一判断即可.
【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12. 如图，点为的内心，若为，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心及性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，根据点为三角形的内心，可得，再由三角形内角和定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解，熟悉三角形基本性质是解题的关键．
【详解】∵点为三角形的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
13. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）

A. 3cmB. 3cmC. 6cmD. 6cm
【答案】B
【解析】
【分析】设圆心为O，连接OA,OB,根据题意可得∠OAB＝∠CAB＝60°，可得OA＝6cm，然后运用勾股定理解即可.
【详解】
解：设圆心为O，连接OA,OB
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和圆的切线的性质以及勾股定理得应用，解答的关键在对圆的切线性质的应用.
14. 圆内接四边形，，，的度数之比为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设，，的度数分别为，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
15. 如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. 16πB. 24πC. 48πD. 96π
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，求解即可．
【详解】解：由题意可知：
圆锥的侧面积为：，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，
．
故选：C
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．
16. 如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A. （2-π）cm2B. （π-）cm2C. （4-2π）cm2D. （2π-2）cm2
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
17. 如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则是⊙O的切线B. 若，则是⊙O的切线
C. 若，则是⊙O的切线D. 若是⊙O的切线，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
18. 在中，，，若将绕点O逆时针旋转，则线段AB扫过的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的面积，正确得出线段扫过的区域是解题的关键．由题意可知，线段扫过的面积为以线段为半径的圆面积以为半径的圆的面积．
【详解】解：如图，由题意可知，线段扫过的面积为以线段为半径的圆面积以为半径的圆的面积，
，，
线段扫过的面积，
故选：A．
19. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A. 19B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【详解】解： 延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故选D．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用，解答此题的关键是正确做出辅助线，得到△ADB为等边三角形．
20. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（ ）
A. 2+1B. +1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′=，因为点B是弧AN的中点，所以∠BON=30°，∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，再由勾股定理求出A′B=2，最后即可求解.
【详解】
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3
故选D．
【点睛】本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌握是关键.
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
21. 正八边形的中心角的度数是 _____°．
【答案】45
【解析】
【分析】利用正n边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为：45．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正n边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
22. 已知扇形的半径为，圆心角的度数为，则此扇形的弧长为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：∵扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，
∴扇形的弧长为：=4πcm.
故答案为4π．
23. 如图，，，那么以为圆心，为半径的圆与直的位置关系是______ ．

【答案】相交
【解析】
【分析】先求出点M到的距离，再进行判断得出即可．
【详解】解：过点作于点，
，，
，
以点为圆心，半径为4的圆与的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时与的关系是解题关键．
24. 如图，已知点A，B，C在上，，，则________．

【答案】##20度
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平行线的性质可证．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，平行线的性质，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
25. 已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【详解】连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18．
故答案为：
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
26. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】可求，由即可求解．
【详解】解：如图，，，，

，
，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，面积法，会用面积转化是解题的关键．
27. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．

【答案】100°．
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
28. 已知的半径为8，直线与相交，则圆心O到直线距离d的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
【详解】解：∵的半径为8，直线与相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系和圆心到直线之间的距离联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
29. 如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于点C，D．若的周长等于6，则长为___________．

【答案】3
【解析】
【分析】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长．
【详解】解：，切于A、B两点，切于点E，交，于点C，D，
，，，
的周长等于6，即：，
，
，
．
故答案为：3．
30. 如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为_____cm．
【答案】1或5
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
【详解】解：有两种情况：
（1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°O′C=1cm，
∴O′P=2O′C=2cm，
∵OP=3cm，
∴OO′=OP−O′P=1(cm)
（2）如图2，同理可得：O′P=2cm，
∴O′O=5cm.
故答案为1或5.
【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，利用切线性质即可求出答案.
三、解答题（共3小题，共30分）
31. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到．
【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
32. 在中，，以边上一点O为圆心，为半径的圆与相切于点D，分别交于点E，F．
（1）如图①，连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，的半径为3，求的长．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）如图，连接，由切线性质得，可证，于是，运用外角的性质，得，于是；
（2）连接．则．可证为等边三角形，于是，得，于是，．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵为半径的圆与相切于点D，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接．
∵F为 的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角关系定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
33. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．

（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，与相交于点F，，过点E作切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出；
（2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，半径垂直于弦，

∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接．

同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵与相切于点E，
∴，即．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．