安徽省鼎尖名校大联考2026届高三上学期第六届逐梦星辰联考（11月月考）数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由补集运算即可求解.
【详解】根据题意，，
集合，．
故选：D
2. 设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】因为，
所以，
所以的虚部为，
故选：C
3. 已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
则，可得，
则，可得，
且，所以．
故选：C.
4. 已知，其中为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数的关系及角所在象限求正切值.
【详解】由，为第二象限角，所以，则.
故选：B
5. 在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算结合重心的几何性质即可求解.
【详解】根据题意，.
故选：A
6. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由过点，得.由在内恰有两个零点，得在内恰有一个零点.讨论的值，可得的取值范围；或将在内恰有两个零点，转化为恰有两个解，由，得，得到的范围，从而求得的取值范围.
【详解】根据题意，令，
即，，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
因为在内恰有两个零点，

．
方法二：根据题意，令，
即，.
由函数在区间上恰有两个零点，得恰有两个解.
当时，，所以，解得.
故选：C.
7. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得，令，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即可求解．
【详解】根据题意，，设，
∴化简可得对照可得，
，
令，，又，
∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，
，令，．
故选：D
8. 已知，满足，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得，令，利用导数分析的性质得到，从而得到，再构造函数，利用导数即可求最大值.
【详解】由，整理得，
设，，令解得
在单调递减，在内单调递增，
当时，，又，
时，，时，，
依题意，，且，
，
，则，
，
设，，
令解得，
在单调递增，在内单调递减，
的最大值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数，满足，则下面不等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质和基本不等式判断各个选项.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，，与的大小无法确定，故B错误；
对于C，，成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当时等号成立；故D正确．
故选：ACD.
10. 已知数列的前项和为，若数列满足，则下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若数列的前项和为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据数列前项和与的关系求出的通项公式，再据此分析的通项、前项和，逐一判断选项.
【详解】根据题意，①，当时，②，
由①-②得，
又，故，
所以
，，满足上式，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，故B正确；
，令，解得，故A错误；
，，，
当时，，当时，，则，
∴数列的最大值为，，故C正确；
，
即③
由③得：④，
由③-④可得，，
，故D正确．
故选：BCD.
11. 在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若点为的中点，则
B. 若点为的内心，则
C. 若，则点过的外心
D. 若为锐角三角形，点为的垂心，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可.
【详解】对于A，点为的中点，，，，
，，
，故A正确；
对于B，若点为内部一动点，且，
设，，，
∴点为的重心，可得，
分析可得，，，
，可得，
，又∵点为的内心，
的高相等，都为内切圆的半径，
，可得，
可得，故B正确；
对于C，由题意得，
其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误；
对于D，由B可得，，，
而点为的垂心，如图，连接与相交于点，

则，而，，
，
又，，
，，
同理可得，，
，
，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式和正弦型函数值域即可得到答案.
【详解】，
所以的最大值为．
故答案为：.
13. 已知复数满足，则的最大值为_______．
【答案】6
【解析】
分析】设复数，结合题意可得，，结合共轭复数以及模长公式运算求解即可.
【详解】设复数，则，
因为，则，可得，
可得，
又因为，则，可得，
所以的最大值为6．
故答案为：6.
14. 已知函数，若仅存在唯一整数解，则取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，原题等价于函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，进而研究函数的图象与性质，数形结合即可求出结果.
【详解】根据题意，令，，
仅存在唯一整数解的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，
当与相切时，设切点，
由于，故切线斜率，
切线方程为：，
代入得，解得，此时，切点，
又当时，，，
所以符合要求的条件为，解得．
即的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，满足．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用正弦边角关系，结合三角形内角的性质及和角正弦公式化简求角；
（2）应用正弦定理化边为角，应用三角恒等变换及正弦型函数的性质求范围.
【小问1详解】
由，则，
在中，则，
所以，
即，
，
，，则，
所以，又，则；
【小问2详解】
由（1）知，，又，
，解得，，
，
，则，
，
，
，
综上，的取值范围为．
16. 已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和．
【小问1详解】
①，
∴当时，令得②，
由①-②可得，，即，
∴数列从第二项开始为常数列，，可得；
当时，，计算可得，经检验不符合上式，
；
【小问2详解】
∵由（1）知，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
∴综上，．
17. 已知函数，．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率即可；
（2）分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解.
【小问1详解】
由题意得，.，，
∴函数在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，
∴代入得，，，
设，，令解得，
∴可得函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的最大值为，，解得．
∴综上，的取值范围为．
18. 已知数列满足，且．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，若数列的前项和为，求．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由递推关系进行求解；
（2）易知，令，可证明数列是以1为首项，2为公比的等比数列，进行求解；
（3）易知，得，利用裂项相消法求解．
【小问1详解】
，，∴令，，
令，；
【小问2详解】
，，，
两边取以2为底的对数得，
又，令，即，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
，解得；
【小问3详解】
由，得，
，
故，
．
19. 已知函数，．
（1）分析函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令，若存使得，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）；
（3）证明见解析
【解析】
分析】（1）求导得，再对进行分类讨论；
（2）利用换元法并登记啊转化为证明在上恒成立，求导后再对分类讨论即可；
（3）代入后分离出，等价转化为证明，再代入，设新函数再求导即可证明.
【小问1详解】
由题意可得，的定义域为，，
当时，，，单调递增；
当时，令，，
①当时，，，
，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
③当时，（舍），，
，，单调递减，
，，单调递增，
∴综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在单调递增；
【小问2详解】
依题意，，
令，即在上恒成立，
设，只需证在上恒成立，
则，，
①当，即时，
，单调递增；
，故满足条件．
②当，即时，
设，，
则，
因为，则，则，，则，
则在上单调递增，即在上单调递增，
；，；
∴存在使得，
，，单调递减，
，，单调递增，
，故不满足条件，舍去．
∴综上所述，的取值范围为．
【小问3详解】
设．由可得，
，，
要证，即证明：
即要证．
令，即要证，
即要证在上单调递增，
即要证在上恒成立，
即要证在上恒成立．
设，则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，，
设，，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，单调递增，，
恒成立，
∴得证：．