数学1 探索勾股定理精练

这是一份数学1 探索勾股定理精练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠C=90∘，则下列等式中成立的是( )
A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. a2+c2=b2D. b2−a2=c2
2.在△ABC中，∠C=90∘，AB=3，则AB2+BC2+AC2的值为( )
A. 24B. 18C. 12D. 9
3.如图，在△ABC中，a2+b2=c2，∠A=35∘，则∠B=( )
A. 45∘B. 55∘C. 65∘D. 75∘
4.如图所示，涂色部分(长方形)的面积为( )
A. 24B. 30C. 48D. 18
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60∘，BC=10，CD=8，则∠ADC的度数为( )
A. 110∘B. 120∘C. 150∘D. 160∘
6.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
7.某日，深圳某高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦7米处(车尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长25米，云梯底部距地面2米，则发生火灾的住户窗口距离地面( )
A. 7米B. 24米C. 25米D. 26米
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.请写出一组勾股数： .
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高BD的长为 .
11.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离CD为15cm，出水口D到点E的距离为17cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 cm.
12.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门(AD和BC，且AD=BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门宽度)的和AB为 寸．
13.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，那么CD2为 .
三、解答题：本大题共5小题，共61分。
14.如图，方格中的小正方形的边长均为1个单位长度，在方格纸上，以线段AB为边画正方形，并计算所画正方形的面积．
15.如图，从高12米的电线杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电线杆底部的距离为9米，现在准备一根长为16米的铁丝，够用吗？请说明理由．
16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．
17.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直．
(1)求绳索AD的长；
(2)直接写出将它往前推送1.5m(水平距离BC=1.5m)时，秋千踏板离地的垂直高度BF= m.
18.问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地(阴影部分)，现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：
如图，AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC=90∘.
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离；
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用；
(3)若∠EGF=90∘，EF=10m，EG=8m，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.
根据线段垂直平分线的性质可得AC=2AE=8，DA=DC，从而可得∠DAC=∠C，再结合已知易得BD=AD，从而可得∠B=∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC=90∘，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答.
【解答】
解：由作图得MN是AC的垂直平分线，
∴AC=2AE=8，DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵BD=CD，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180∘，
∴2∠BAD+2∠DAC=180∘，
∴∠BAD+∠DAC=90∘，
∴∠BAC=90∘，
在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10，
∴AB= BC2−AC2= 102−82=6，
故选D.
9.【答案】3，4，5/答案不唯一
10.【答案】4.8
11.【答案】12
12.【答案】101
13.【答案】61
14.【答案】解：如图所示．
所画正方形的面积为12+32=10.

15.【答案】解：够用．理由如下：在△ABC中，∠C=90∘，
所以AB2=AC2+BC2=92+122=225=152，所以AB=15.
又16>15，所以铁丝够用．

16.【答案】解：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，
另一条直角边长5×3=15(尺).
因为202+152=252，所以葛藤的最短长度是25尺．

17.【答案】【小题1】
解：由题意可知，CE=BF=1.5m，BC=2m，
因为DE=0.5m，
所以CD=CE−DE=1.5−0.5=1(m).
设AD=AB=xm，则AC=(x−1)m.
因为BC⊥AE，所以∠ACB=90∘.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2+AC2+AB2，
即22+(x−1)2=x2，解得x=2.5.
答：绳索AD的长是2.5m；
【小题2】
1

【解析】
2.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2−BC2=2.52−1.52=4，所以AC=2(m)，所以CD=AD−AC=2.5−2=0.5(m)，所以BF=CE=CD+DE=0.5+0.5=1(m).
18.【答案】【小题1】
A
C
【小题2】
连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AC2=AB2+BC2=92+122=225，所以AC=15(m).
因为AD2+AC2=82+152=289，CD2=172=289，
所以AD2+AC2=CD2，所以∠DAC=90∘，
所以S△DAC=12AD⋅AC=12×8×15=60m2，
S△ABC=12AB⋅BC=12×9×12=54m2，
所以四边形ABCD的面积=60+54=114(m2)，
所以建造绿化地的费用100×114=11400元；
【小题3】
因为∠EGF=90∘，EF=10m，EG=8m，
所以FG2=EF2−EG2=102−82=36，所以FG=6(m).
因为GH⊥EF，所以S△EGF=12EG⋅FG=12EF⋅GH，
所以GH=EG⋅FGEF=8×610=245m，
所以方案一：铺设管道所花的费用=(6+8)×50=700(元)，
方案二：铺设管道所花的费用=10+245×50=740(元).
答：铺设管道所需的最少费用为700元．