吉林省2025九年级数学上册第23章图形的相似学情评估试卷（附解析华东师大版）

这是一份吉林省2025九年级数学上册第23章图形的相似学情评估试卷（附解析华东师大版），共12页。
第23章 学情评估卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） （第1题） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 【答案】C 2．如图，DE//BC，AD:BD=2:3，BC=15，则DE的长是（ ） （第2题） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】A 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点(0,1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(-1,-1)，则点C的坐标为（ ） （第3题） A. (-2,1) B. (-1,3) C. (1,-3) D. (-3,1) 【答案】B 4．△ABC中，∠A=78∘ ，AB=4，AC=6，下列阴影三角形与△ABC不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5．如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法错误的是（ ） （第5题） A. DE=DF B. S△AEF=14S△ABC C. S△DEF=13S△ABC D. AD⊥EF 【答案】C 6．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG=2，则线段AE的长是（ ） （第6题） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 7．《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池每边的正中各开一道门，从北门点A处往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从西门点C处往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） （第7题） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 【答案】A 8．[［2025长春南关区期中］]如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ） （第8题） A. (-95,125) B. (-125,95) C. (-165,125) D. (-125,165) 【答案】A 【解析】点拨：如图，过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，则∠A1MO=∠C1NO=90∘ ，C1N//y轴，∴∠2=∠3.由旋转可知∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴△A1OM∼△OC1N，∴OMA1M=NC1ON.∵OA1=OA=5，A1M=OC=3，∴OM=4，∴NC1ON=OMA1M=43.设NO=3x，则NC1=4x，在Rt△OC1N中，∵OC1=OC=3，∴(3x)2+(4x)2=9，解得x=35（负值舍去），则NO=95，NC1=125，∴ 点C的对应点C1的坐标为(-95,125). 二、填空题（每题3分，共18分） 9．若nm=23，则nm-n的值为_ _ _ _ . 【答案】2 10．已知△ABC∼△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是32，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=_ _ _ _ . 【答案】4 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘ ，BD是边AC上的高，AC=9，CD=6，则BC的长为_ _ _ _ _ _ _ _ . （第11题） 【答案】3 6 12．如图，△ABC的顶点C的坐标是(-2,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，且AB:A'B'=1:3，若点B'的横坐标是7，则点B的横坐标是_ _ _ _ _ _ . （第12题） 【答案】-5 13．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG//CD，交AC边于点G，连结GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为. （第13题） 【答案】27 【解析】点拨：由题意得CE=CB=12，AF=FD，∵FG//CD，∴AGGC=AFFD=1，即AG=GC=12AC=9.又∵CE是△ABC的中线，∴EG是△ABC的中位线， ∴GE=12BC=6， ∴△CEG的周长为CE+GE+CG=12+6+9=27. 14．[［2025长春二道区月考］]如图，等边三角形ABC的边长为10，点D，E分别是BC，AC上的动点，沿DE所在的直线折叠∠C，使点C的对应点C'落在AB边上，若点C'把线段AB分成2:3的两部分，则线段AE的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （第14题） 【答案】214或327 【解析】点拨：由题意可知AB=BC=AC=10，∠A=∠B=∠C=60∘ ，∴∠AC'E+∠AEC'=120∘ .由翻折的性质可知∠DC'E=∠C=60∘ ，∴∠AC'E+∠BC'D=120∘ ，∴∠BC'D=∠AEC'，∴△BC'D∼△AEC'，∴BC'AE=BDAC'=C'DEC'.设AE=x，BD=y，则EC'=EC=10-x，DC=C'D=10-y.①当AC'BC'=23时，AC'=4，BC'=6.∴6x=y4=10-y10-x，解得x=214；②当BC'AC'=23时，AC'=6，BC'=4.∴4x=y6=10-y10-x，解得x=327.综上，AE的长为214或327. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折裁开称为A2纸，它们都是相似的矩形. （1） 求ADAB的值； （2） 若A1纸的周长为286 cm，求A2纸的周长. 【答案】（1） 解：∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为AD2，A1，A2纸是相似的矩形，∴ADAB=ABAD2，∴ADAB=2. （2） ∵A1纸的周长为286 cm，ADAB=2， ∴A2纸的周长为286÷2=1432(cm). 16．（6分）如图，已知△ABC∼△DEC，∠D=45∘ ，∠ACB=60∘ ，AC=(2+2 3) cm，BC=4 cm，CE=6 cm. （1） 求∠B的度数； （2） 求AD的长. 【答案】 （1） 解：∵△ABC∼△DEC，∴∠A=∠D=45∘ . 又∵∠ACB=60∘ ，∴∠B=180∘-60∘-45∘=75∘ . （2） ∵△ABC∼△DEC，∴ACDC=BCEC. ∵AC=(2+2 3) cm，BC=4 cm，CE=6 cm， ∴2+2 3DC=46，∴DC=(3+3 3) cm， ∴AD=AC+DC=(5+5 3) cm. 17．（6分）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图，G是△ABC的重心. 求证：BE=3GE. 证明：过点D作DH//AC交BE于点H. ∵G是△ABC的重心，∴AE=CE，BC=2BD. ∵DH//CE，∴△BDH∼△BCE，∴BHBE=DHCE=BDBC=12，∴BE=2BH，CE=2DH，∴BH=HE，AE=2DH.∵DH//AE，∴△AGE∼△DGH，∴GEGH=AEDH=2， ∴GE=2GH，∴EH=BH=3GH， ∴BE=6GH，∴BE=3GE. 18．（6分）春天到了，同学们去公园春游，张明、李华对着如下的景区示意图描述景区中牡丹亭和望春亭的位置（图中小正方形的边长代表100 m）. 张明：“牡丹亭的坐标为(300,300).”李华：“望春亭约在中心广场南偏西63∘ 方向224 m处.” 实际上，他们所说的位置都是正确的.根据所学的知识解答下列问题： （1） 请指出张明是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出平面直角坐标系； （2） 请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台和游乐园的位置（参考数据：5≈2.24）. 【答案】 （1） 解：张明是以中心广场为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系. （2） 用张明的方法：音乐台的坐标为(0,400)，游乐园的坐标为(200,-400). 用李华的方法：音乐台在中心广场正北方向400 m处，游乐园约在中心广场南偏东27∘ 方向448 m处. 19．（7分）如图所示的是边长为1个单位长度的小正方形网格，点A，B，C的坐标分别为(2,3)，(1,1)，(4,1). （1） 将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； （2） 以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出A2的坐标. 【答案】 （1） 解：如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(9,7). （2） 如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(3,5). 20．[［2025长春朝阳区期末］]（8分）图①②③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上. （1） 网格中△ABC的形状是 _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 在图①中，确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等； （3） 在图②中，在△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∼△CBA； （4） 在图③中，在△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∼△ABC，且相似比为3:5. 【答案】（1） 直角三角形 （2） 解：（答案不唯一）如图①. （3） 如图②. （4） 如图③. 21．（8分）如图，已知△ABC，AB=2，BC=5，∠ABC=2∠C，为了求边AC的长，小亮想出了一个好办法：将边BC反向延长至点D，使DB=AB，连结AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！ （1） 请你找出这对相似三角形，并进行证明； （2） 求边AC的长. 【答案】 （1） 解：△DBA∼△DAC. 证明：∵DB=AB，∠D+∠DAB=∠ABC， ∴∠D=∠DAB=12∠ABC. 又∵∠ABC=2∠C，∴∠D=∠DAB=∠C， 又∵∠D=∠D，∴△DBA∼△DAC. （2） ∵AB=2，DB=AB， ∴DB=2，∵BC=5，∴CD=BC+DB=7. ∵△DBA∼△DAC，∴DB:DA=DA:DC， 即2:DA=DA:7，∴DA=14. ∵∠D=∠C，∴DA=AC，∴AC=14. 22．（9分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连结EF，CF，EF交对角线AC于点G. （1） 若AC=8，求AG的长； （2） 如果AB=AC，求证：△AFG∼△ACF. 【答案】 （1） 解：连结BD交AC于点O， ∵ 点E和点F分别为边AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线，AF=FB， ∴EF//BD，∴AGGO=AFFB=1，∴AG=GO. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC. 又∵AC=8，∴AG=12AO=12×12AC=14×8=2. （2） 证明：∵AF=12AB，AB=AC，∴AF=12AC. ∵AG=14AC，∴AGAF=14AC12AC=AC2AC=12，∴AFAC=AGAF. 又∵∠FAG=∠CAF，∴△AFG∼△ACF. 23．（10分）数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图①，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1 m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m放在F处，从点F处后退1.8 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，眼睛距地面的高度ED，GH为1.5 m.（平面镜厚度忽略不计） 方案二：如图②，利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m，测得DE=2 m，CE=2.5 m. 方案三：如图③，将自制直角三角板的一条直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4 m，EF=0.2 m，测得边CE离地面的距离DC=0.3 m. （1） 三种方案中，方案_ _ _ _ 不可行； （2） 请根据可行的方案求出灯柱的高度. 【答案】（1） 二、三 （2） 解：由（1）知可行的方案是方案一. 易知题图①中∠ECD=∠ACB，∠EDC=∠ABC， ∴△ABC∼△EDC，∴ABED=BCCD，∴AB=BC⋅EDCD=1.5BC，同理可得△ABF∼△GHF，∴ABGH=BFFH.设BC=x m，则AB=1.5x m，BF=BC+CF=(4+x)m， 又∵GH=1.5 m，FH=1.8 m，∴1.5x1.5=4+x1.8，解得x=5，∴1.5x=7.5. 答：灯柱的高度为7.5 m. 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AC=20 cm，BC=15 cm，动点P从点A出发，沿AC向点C运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B运动，如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，就都停止运动.设运动时间为t s. （1） 当t=3时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2） 若△CPQ的面积为S cm2，求S关于t的函数表达式. （3） 当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】 （1） 解：由题意得，AP=4t cm，CQ=2t cm，则CP=(20-4t)cm，当t=3时,CP=8 cm,CQ=6 cm. ∴ 在Rt△PCQ中，PQ=CP2+CQ2=82+62=10(cm). （2） 由题意得S=12×(20-4t)×2t=20t-4t2. ∴S关于t的函数表达式为S=20t-4t2(0