河北省邢台市2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份河北省邢台市2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了4．，3 ）等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册第一章至第四章 4.4．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A  x  Z∣x  10, B  x∣x  3n, n  N，则 A ∩ B  （ ）
A 0,1, 2, 3
C. 0, 3, 6, 9
B. 3, 6, 9
D. 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9
函数 f  x  ax  3a  0 且 a  1 的图象恒过定点 P ，则 P 的坐标是（ ）
A. 0，1
B. 1， 3
C. 0， 2
D. 0， 3
0, x  ðRQ
十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D  x  1, x  Q

已知 a, b  R ，则“ ab  Q ”
是“ D a  D b  2 ”的（ ）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
33
已知 a  π3 , b  lg 4, c  lg
7
，则（ ）
a  c  b
b  c  a
c  b  a
a  b  c
“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI 大于 200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0  24 时的空气质量指数 y 随时间t 变化的趋势由函数
4t 160, 0  t  12,

y   384
176,12  t  24
描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
 t
A. 6 小时B. 8 小时C. 16 小时D. 18 小时

已知函数 f  x  的定义域为x∣ 2  x  2，则函数 f  x 的定义域为（ ）
2

1,1
x 1
(1,1)
4, 0)  (0, 4D. 4, 1)  (1, 4
函数 f  x 
x3  x
2
的大致图象是（ ）
x 1
A.B.
C.D.
已知函数 f  x  2x  blga x a  0且a  1 ，若 f  x  0 恒成立，则（ ）
0  a  1, b  2B. 0  a  1, b  2
C. a  1, b  2D. a  1, b  2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列函数中，与函数 f  x  x 1为同一个函数的是（ ）
A. g  x  
x 12
3  x 13
g  x 
5
g  x  lg 5x1D. g  x  elnx1
已知实数 a, b 满足2  a  b  3, 4  a  b  5 ，则（ ）
a 的取值范围为1, 4
b 的取值范围为3, 1
3a  b 的取值范围为 0, 11
a2  b2 的取值范围为10,15
定义在x∣x  0 上的函数 f  x ，对任意 x, y ，都有 f  xy   f  x   f  y   4 ，且当0  x  1
时， f  x  4 ，则（ ）
f 1  4
f  x 是偶函数
f  x 在0, ∞ 上单调递减
不等式 f  x 1  f  x 的解集为, 0  0, 1 
2 

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
x
已知 f 1  x  x2 ，则 f 1  ．
x2  ax  4 , x  1,

已知 a  0 且a  1，函数 f  x  a
1
在R 上单调递增，则 a 的取值范围是
ax  2, x  1
ax
．
00
某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量 y 与时间t （单位：年）的关系式为 y  y  3kt ，其中 y 为初始量， k 为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎 5 年后的残留量为初始量的 80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过年，其残留量为初始量的 10%．（参考数据： lg2  0.3 ）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
 2
2
8
 
（1）求 1 

3 10lg4  π0  lg
4
的值；
（2）求lg52  lg2lg5  lg500 的值．
已知集合 A  x x2  x  6  0，集合 B  x x  a．
（1）当 a  3 时，求 A ðR B ；
（2）若 B  A ，求 a 的取值范围．
已知函数 f  x  m2  3 xm m  Z 为幂函数，且在0, ∞ 上单调递增．
求m 的值，并求 f  x 的解析式；
若存在 x 1, ∞ ，使得 ax  a 1  f  x ，求 a 的取值范围．
22
已知函数 f  x  lg x2  mlg x2 1．
（1）设 m  1．
求 f  x 的最小值，并求出当 f  x 取得最小值时 x 的值；
求 f  x 的单调递减区间．

（2）对任意x1 、 x2 1,16， f  x1   f  x2   8 恒成立，求m 的取值范围．
m, m  n,
 x 1 , x  0,
定义maxm, n  
n, m n.
已知函数 f  x   x
g  x  x2 1, h  x 

max f  x, g  x.
x4 , x  0,
求 h  x 的单调区间．
已知 x1, x2, x3  x1  x2  x3  是关于 x 的方程 h  x  ax 1 的三个不同的实根．
求 a 的取值范围；
1
23
已知b  R ，求maxx2  b, 4x  x  b 的最小值．
邢台市 2025-2026 学年高一（上）第二次月考
数学
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册第一章至第四章 4.4．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A  x  Z∣x  10, B  x∣x  3n, n  N，则 A ∩ B  （ ）
A. 0,1, 2, 3
C. 0, 3, 6, 9
B. 3, 6, 9
D. 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的元素特征及交集的定义可得.
【详解】由 A  x  Z∣x  10, B  x∣x  3n, n  N，所以3n  10, n  N ，得 n  0,1, 2, 3 .
所以 A  B  0, 3, 6, 9 ．故选：C.
函数 f  x  ax  3a  0 且 a  1 的图象恒过定点 P ，则 P 的坐标是（ ）
A. 0，1
B. 1， 3
C. 0， 2
D. 0， 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质即得
【详解】令 f 0  a0  3  1 3  2 ，
故 f  x 的图象恒过定点0， 2 ．
故选：C.
0, x  ðRQ
十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D  x  1, x  Q

已知 a, b  R ，则“ ab  Q ”
【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，判断“ ab  Q ”和“ D a  D b  2 ”的互相推出情况，由此可知结果.
【详解】若 D a  D b  2 ，则 D a  D b  1 ，所以a, b  Q ，故 ab  Q ，
但当 ab  Q 时， a, b 可能都是无理数，不妨设 a  b 2 ，此时 D a  D b  0 ，
所以“ ab  Q ”是“ D a  D b  2 ”的必要不充分条件．
是“ D a  D b  2 ”的（
）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
【答案】B
【解析】
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
故选：B.
33
已知 a  π3 , b  lg 4, c  lg
7
，则（ ）
a  c  b
【答案】A
【解析】
b  c  a
c  b  a
a  b  c
【分析】根据对数函数的单调性，化简分析，即可得答案.
33
【详解】因为 a  π3  0, b  lg 4  lg 3  1，所以b  a ，
7
又lg3 1  lg3所以a  c  b ．故选：A
 lg3
9 ，所以c  lg3
7 0,1 ，
“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI 大于 200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0  24 时的空气质量指数 y 随时间t 变化的趋势由函数
4t 160, 0  t  12,

y   384
176,12  t  24
描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
 t
A. 6 小时B. 8 小时C. 16 小时D. 18 小时
【答案】D
【解析】
【分析】当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即AQI 小于或等于 200 时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可.
【详解】由 AQI 大于 200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
得当AQI 小于或等于 200 时，可开展户外活动，即 y  200 ，
4t 160, 0  t  12,

因为 y   384
176,12  t  24,
 t
所以当0  t  12 时， 4t 160  200 ，解得0  t  10 ，
384
当12  t≤24 时，
t
176  200 ，解得16  t  24 ．
综上，可开展户外活动的时长至多为10  0  24 16  18 小时．故选:D.

已知函数 f  x  的定义域为x∣ 2  x  2，则函数 f  x 的定义域为（ ）
2

1,1
x 1
(1,1)
4, 0)  (0, 4D. 4, 1)  (1, 4
【答案】A
【解析】
 2 
【分析】根据 f  x  的定义得 f  x 的定义域，进而可得所求结果.

【详解】因为函数 f  x  的定义域为x∣ 2  x  2，所以1  x  1 ，
2
 
2
所以 f  x 的定义域为1,1 ，
故函数 f  x 中的 x 需满足1  x  1, 得1  x  1，

x 1
x 1  0,
故函数 f  x 的定义域为1,1 ．
x 1
故选：A.
函数 f  x 
x3  x
2
的大致图象是（ ）
x 1
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得.
【详解】 f  x 的定义域为R ，故 B 错误；
又 f x 
x3  x
2
  x3  x
  f  x ，则 f  x 为奇函数，故 A 错误；
x 1
2
x 1
当 x 0,1 时， x3  x ，所以 f  x  0 ，故 C 错误.
故选：D.
已知函数 f  x  2x  blga x a  0且a  1 ，若 f  x  0 恒成立，则（ ）
0  a  1, b  2B. 0  a  1, b  2
C. a  1, b  2D. a  1, b  2
【答案】B
【解析】
【分析】令 g  x  2x  b, h  x  lga x, 由题意 g  x, h  x 零点相同，求得b  2 ；再分 a  1 和0  a  1
分析是否恒有 f  x  0 即可判断.
【详解】由题意 f  x 的定义域为0, ∞ ，令 g  x  2x  b, h  x  lga x,
由题意 g  x  2x  b, h  x  lga x, 零点相同，
所以 b  1，得b  2 ,
2
f  x  2x  2lga x
若 a  1 ，当 x 0,1 时， 2x  2  0 ， lga x  0 
若0  a  1，
f  x  0, 不符合题意；
x 0,1 时， 2x  2  0 ， lga x  0  f  x  0,
x 1, ∞ 时， 2x  2  0 ， lga x  0 
x  1 时， f 1  0 .
0  a  1, b  2 恒有 f  x  0
f  x  0,
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列函数中，与函数 f  x  x 1为同一个函数的是（ ）
Ag  x  
x 12
g  x 
3  x 13
5
g  x  lg 5x1D. g  x  elnx1
【答案】BC
【解析】
【分析】逐项比较定义域与解析式进行判断.
3  x 13
【详解】对于 A： g  x   x 12 ，定义域为1,  ，与已知函数定义域不同，A 错误；
对于 B： g  x 
 x 1 ，定义域为R ，与已知函数定义域相同，解析式相同，B 正确；
5
对于 C： g  x  lg 5x1  x 1，定义域为R ，与已知函数定义域相同，解析式相同，C 正确；对于 D： g  x  elnx1  x 1定义域为1, ∞ ，与已知函数定义域不同，D 错误．
故选：BC.
已知实数 a, b 满足2  a  b  3, 4  a  b  5 ，则（ ）
a 的取值范围为1, 4
b 的取值范围为3, 1
3a  b 的取值范围为 0, 11
a2  b2 的取值范围为10,15
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.
【详解】由实数 a, b 满足2  a  b  3, 4  a  b  5 ，可得2  2a  8 ，所以1  a  4 ，
又由5  b  a  4 ，且2  a  b  3 ，可得7  2b  1 ，所以 7  b   1 ，
22
所以 a 的取值范围为1, 4, b 的取值范围为 7 ,  1  ，所以 A 正确，B 错误；
 22 
由3a  b  2 a  b  a  b ，因为4  2 a  b  6, 4  a  b  5 ， 所以0  3a  b  11，所以3a  b 的取值范围为0,11，所以 C 正确；由 a2  b2  a  ba  b ，当0  a  b  3 时，可得0  a2  b2  15 ，
当2  a  b  0 时，可得10  a2  b2  0 ，所以a2  b2 的取值范围为10,15 ，所以 D 正确．
故选：ACD.
定义在x∣x  0 上的函数 f  x ，对任意 x, y ，都有 f  xy  
时， f  x  4 ，则（ ）
f  x   f  y   4 ，且当0  x  1
f 1  4
f  x 是偶函数
f  x 在0, ∞ 上单调递减
不等式 f  x 1  f  x 的解集为, 0  0, 1 
2 

【答案】BCD
【解析】
【分析】通过赋值法可判断 A、B；令 x  x ， y  x1 ，其中0  x  x ，由定义法得到 f  x 在0, ∞
2
x
12
2
上单调性即可判断 C；根据 B 中结论将 f  x 1 
f  x 转化为 f  x 1  
f  x  ，再利用 C 中结论得到
不等式求解即可判断 D.
【详解】对于 A，令 x  y  1 ，则 f 1  4 ，令 x  y  1，则 f 1  4 ，A 错误．
对于 B，令 y  1，则 f x 
f  x  f 1  4 
f  x ，所以 f  x 为偶函数，B 正确．
对于 C，令 x  x ， y  x1 ，其中0  x  x ，
2
x
12
2
则 f  x   f  x   f  x1   4 ，即 f  x   f  x   f  x1   4 ，
12 x 12 x 
 2  2 
因为0  x1  1，所以 f  x1   4  0 ，即 f  x   f  x  ，
x x 12
2 2 
所以 f  x 在0, ∞ 上单调递减，C 正确．对于 D，因为 f  x 是偶函数，且 f  x 1 
f  x ，所以 f  x 1  
f  x  ．
又 f  x 在0, ∞ 上单调递减，所以 x 1 
x ，且 x  0, x  1，解得 x  1 ，且 x  0 ．
2
故不等式 f  x 1 
f  x 的解集为∞, 0  0, 1  , 故 D 正确.
2 

故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
x
已知 f 
【答案】 12
1  x  x2 ，则 f 1  ．
【解析】
4
【分析】根据函数解析式直接求值可得.
x
【详解】因 f 
所以 f 1  12
故答案为： 12 .
1  x  x2 ，令 x  4 ，则 f (
1) 
f 1  4  42  12 .
x2  ax  4 , x  1,

已知 a  0 且a  1，函数 f  x  a
1
在R 上单调递增，则 a 的取值范围是
ax  2, x  1
ax
．
【答案】2, 3
【解析】
【分析】先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半
段函数在端点处的最小值即可求得.

 a  1,
2

【详解】因为 f  x 在 R 上单调递增，所以a  1,
41
解得 2  a  3 ，即 a 的取值范围是
1 a   a   2,
aa
2, 3 .
故答案为： 2, 3
00
某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量 y 与时间t （单位：年）的关系式为 y  y  3kt ，其中 y 为初始量， k 为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎 5 年后的残留量为初始量的 80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过年，其残留量为初始量的 10%．（参考数据： lg2  0.3 ）
【答案】50
【解析】
y
y
【分析】根据已知条件可以得出5k  lg3 0.8 ，将
0
 0.1 代入结合对数的运算化简即可得结果.
【详解】由 y  y0
 3kt ，可得 y
y0
 3kt ，故 kt  lgy ．
y
3
0
当t  5 时， y
y0
 0.8 ，即5k  lg3 0.8 ，当
y
y
0
 0.1 时， kt  lg3 0.1，
两式相除可得t  5 lg3 0.1  5lg0.1  5lg0.1 55 50.
lg3 0.8
0.8
lg0.8
lg8  lg103lg2 1
故答案为：50.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
 2
2
8
 
（1）求 1 

3 10lg4  π0  lg
4
的值；
（2）求lg52  lg2lg5  lg500 的值．
3
【答案】（1） 4 ；（2） 2
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得.
 2
8
 
【详解】（1）  1 

2
4
3 10lg4  π0  lg
 2
2
 1 3  3 1
2
   
 
 4 1 lg 2 22
 2 1
 1 
  3 3

 4 1 2 lg 2
2


 4  4 1 1
4
22
 3 .
4
（2） lg52  lg2lg5  lg500
 lg5lg5  lg2  lg500
 lg5lg10  lg500
 lg5  lg500
 lg 5  lg 1  lg102  2.
500100
已知集合 A  x x2  x  6  0，集合 B  x x  a．
（1）当 a  3 时，求 A ðR B ；
（2）若 B  A ，求 a 的取值范围．
【答案】（1） A ðR B  x x  3 或 x  2
（2） , 2
【解析】
【分析】（1）求出集合 A 、 B 后，利用并集与补集定义即可得；
（2）由题意可得 B  A ，再分 B   与 B   讨论即可得.
【小问 1 详解】
由 x2  x  6   x  3 x  2  0 ，解得2  x  3，则 A  x 2  x  3 ，
由 x  3 可得3 ≤ x ≤ 3 ，故 B  x 3  x  3，则ðR B  x x  3 或 x  3 ，
故 A ðR B  x x  3 或 x  2 ；
【小问 2 详解】因为 B  A ，
当 a  0 时， B   ，符合题意；
当 a  0 时， B  x x  a  x a  x  a ，
a  2

由 B  A ，得a  3，所以0  a  2 ；
综上， a 的取值范围为, 2 .
已知函数 f  x  m2  3 xm m  Z 为幂函数，且在0, ∞ 上单调递增．
求m 的值，并求 f  x 的解析式；
若存在 x 1, ∞ ，使得 ax  a 1  f  x ，求 a 的取值范围．
【答案】（1） 2 ， f  x  x2
2
（2） 2 2, ∞
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义直接可得；
（2）先将不等式进行参数分离，再由基本不等式可得.
【小问 1 详解】
因为 f  x  m2  3 xm m  Z 为幂函数，所以 m2  3  1，解得 m  2 或 m  2 .
当 m  2 时， f  x  x2 在0, ∞ 上单调递增，符合题意；
当 m  2 时， f  x  x2 在0, ∞ 上单调递减，不符合题意．综上所述， m 的值为2, f  x 的解析式为 f  x  x2 .
【小问 2 详解】
因存在 x 1, ∞, ax  a 1 
f  x ，则 a
x2 1
，
x 1
令 x 1  t ，则 x  t 1, t 0, ∞ ，
x2 1
t 12 1t 2  2t  22
x 1
 t   2  2  2 2,
ttt
x2  1
2
2
当且仅当t 时，等号成立，即
x  1 取得最小值2  2.
故 a  2
2 ，即 a 的取值范围为2
2, ∞.
2
2
22
已知函数 f  x  lg x2  mlg x2 1．
（1）设 m  1．
求 f  x 的最小值，并求出当 f  x 取得最小值时 x 的值；
求 f  x 的单调递减区间．
（2）对任意x1 、 x2 1,16， f  x1   f  x2   8 恒成立，求m 的取值范围．
【答案】（1）（i） f  x 最小值为0 ， x  1 ；（ii）  0, 1 
22 


（2） 4  2 2, 2 2 
【解析】
【分析】（1）（i）令t  lg2 x ， t  R ，则 f t   t 2  2t 1  t 12 ，利用二次函数的基本性质可求出 f  x
的最小值及其对应的 x 的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数 f  x 的单调递减区间；
（2）令t  lg2 x 0, 4 ，则 f  x  lg2 x2  mlg2 x2 1可化为 g t   t 2  2mt 1，记函数 g t  在
0, 4上的最大值为 M ，最小值为 N ，问题可化为 M  N  8 ，对实数m 的取值进行分类讨论，分析二次函数 g t  在0, 4上的单调性，结合 M  N  8 可求得实数m 的取值范围.
【小问 1 详解】
22
当 m  1时， f  x  lg x2  lg x2 1，
2222
f  x 的定义域为0, ∞ ， f  x  lg x2  lg x2 1  lg x2  2lg x 1
2
令t  lg x ， t  R ，则 y  t 2  2t 1  t 12 ，
当t  1，即当lg2
x  1 时，即 x  1 时， f  x 取得最小值，最小值为0 .
2
t  lg2 x 在0, ∞ 上单调递增，
2
y  t 2  2t 1  t 12 在∞, 1 上单调递减，令lg
所以 f  x 的单调递减区间为 0, 1  .
x  1，解得0  x  1 ，
2
2 

【小问 2 详解】
当 x 1,16 时，令t  lg2 x 0, 4 ，
22
f  x  lg x2  mlg x2 1可化为 g t   t 2  2mt 1．记函数 g t  在0, 4上的最大值为 M ，最小值为 N ，
由对任意x1 、 x2 1,16， f  x1   f  x2   8 恒成立，得 M  N  8 恒成立．
g t   t 2  2mt 1  t  m2 1 m2 ，其图象开口向上且对称轴为直线t  m ．
①当 m  0 时， g t  在0, 4上单调递增，
可得 M  g 4  42  8m 1  17  8m ， N  g 0  02 1  1 ，由 M  N  8 ，得16  8m  8 ，解得 m  1，不符合题意；
②当0  m  4 时，函数 g t  在0, m 上单调递减，在m, 4上单调递增，

则 N  g m  1 m2 ， M  maxg 0, g 4  max 1,17  8m  1, 2  m  4，
17  8m, 0  m  2
当0  m  2 时，由 M  N  8 ，可得17  8m 1 m2  8 ，所以m  42  8 ，
2
2
2
解得4  2
 m  4  2
，此时4  2
 m  2 ；
2
2
2
当2  m  4 时，由 M  N  8 ，可得11 m2  8 ，解得2
 m  2
，此时2  m  2；
③当 m  4 时， M  g 0  02 1  1, N  g 4  42  8m 1  17  8m ，由 M  N  8 ，可得117  8m  8 ，解得 m  3 ，不符合题意．


综上， m 的取值范围为4  2 2, 2 2  .
m, m  n,
 x 1 , x  0,
定义maxm, n  
n, m n.
已知函数 f  x   x
g  x  x2 1, h  x 

max f  x, g  x.
x4 , x  0,
求 h  x 的单调区间．
已知 x1, x2, x3  x1  x2  x3  是关于 x 的方程 h  x  ax 1 的三个不同的实根．
求 a 的取值范围；
1
23
已知b  R ，求maxx2  b, 4x  x  b 的最小值．
【答案】（1）单调递减区间为∞, 1 和0, ∞ ，单调递增区间为1, 0
（2）（i）（0，1）；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据题意，分类讨论，求得函数 h  x 的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解；
（2）（i）根据题意，分别求得 x  1和 x  1 时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）
由（i）知 x   1 , x  a, x  0 ，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解.
1a23
【小问 1 详解】
1 23

解：当 x  0 时， x2 1 x4   x4  x2 1   x2 

  0 ，即 g  x 
2
4
f  x ，
当 x  0 时，令 x 1  x2 1 ，可得 x 1  x3  x ，即 x3  1，解得 x  1，
x
所以当 x  1时， f  x  g  x ；当1  x  0 时， g  x  f  x ，
 x 1 , x  1

所以 h  x  max f  x, g  x   x，
x2 1, x  1
当 x  1时， h  x  x 1  1 1 ，可得 h  x 在∞, 1 单调递减；
xx
当 x  1 时，函数 h  x  x2 1，可得 h  x 在0, ∞ 单调递减，在1, 0 单调递增，综上可得：函数 h  x 的单调递减区间为∞, 1 和0, ∞ ，单调递增区间为1, 0 .
【小问 2 详解】
解：（i）当 x  1时，令 x 1  ax 1，可得 x2  1 ；
xa
当 x  1 时，令x2 1  ax 1，可得 x2 + ax = 0 ，解得 x  0 或 x  a ，
a  0
 1
因为关于 x 的方程 h  x  ax 1 有三个不同的实根，则满足  1
 a
，解得0  a  1，
a  1
所以 a 的取值范围为( 0, 1) .
（ii）由（i）可知 x   1 , x  a, x  0 ，
1a23
令 M  maxx2  b, 4x  x  b ，所以 M  x2  b  1  b, M  4x  x  b  4a  b ，
123
1a23
4
可得2M  x2  b  4x  x  b  1  4a  2 4 ，
123a
当且仅当 a  1 0,1 时，等号成立，所以maxx2  b, 4x  x  b 的最小值为2 ．
2123