北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课后练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课后练习题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ）
A．B．C．D．
2．如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(3，0)
4．如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知中，点D，E分别为直角边，上的点，已知，若，，则知道下列哪个代数式的值便可求出四边形的面积（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，且，，则的值是（ ）
A．1B．C．5D．7
8．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（ ）
A．B．C．D．
10．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm
11．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
12．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10米B．12米C．13米D．15米
二、填空题
13．如图，菱形的边长为5，，E是边上一点（不与点C、D重合），把沿着直线翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么的长为 ．
14．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接．若，，则的长是 ．
15．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米．
16．如图，在中，，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，，则的值为 ．
17．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ．
三、解答题
18．如图，是的直径，弦于点．点是的中点，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
19．项目式学习
20．如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理．
21．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
22．如图，在中，，D是上的一点，．求的面积．
23．如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理．
24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为．
【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含的式子表示为_____；
(2)请你求出旗杆的高度．
《1.1探索勾股定理》参考答案
1．A
【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案．
【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征；
B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符；
C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征；
D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征；
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了勾股定理和完全平方式，设直角三角形的两直角边长边为、短边为，则，根据面积得，则，由图可知，，，则计算即可．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长边为、短边为，结合图1和图2可知，
连接,过点G作交的延长线与点M，
∵，
∴，
∴，
由图可知，，，
则
，
故选：．
3．D
【分析】根据勾股定理求得AB，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝AC﹣OA3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
在中，，由勾股定理得
，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴D到的距离为3，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺，
∴图中直角三角形的斜边长尺，
根据勾股定理建立方程得：，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理、代数式以及三角形面积等知识，设，，，则，，根据勾股定理得：，，再求出四边形的面积的面积的面积，，即可解决问题．
【详解】解：设，，，
则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
四边形的面积
，
且四个选项中只有，
知道的值便可求出四边形的面积，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理，正确应用勾股定理确定各边长度是解题关键．
直接利用勾股定理得出的值即可．
【详解】解：在中，，且，，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数．
【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）．
A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件．
B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件．
C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件．
D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件．
综上，只有选项B满足勾股数的条件，
故选B．
9．B
【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】在侧面展开图中，
的长等于底面圆周长的一半，即，
∵
根据勾股定理得：，
∴从点A爬到点B的最短路径长，
故选：B．
10．D
【详解】试题分析：可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，得出两直角边为3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得结果．
∵一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，
∴设两条直角边长的长是 3x，4x，
∴（3x）2+（4x）2=202，
解得：x=4或-4（不合题意舍去）
∴3x=12，4x=16，
∴这个三角形的周长是：12+16+20=48cm．
故选D.
考点：本题考查的是勾股定理的应用
点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键．
11．D
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是利用分类讨论的思想求解．
已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，
得，
所以；
②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，
得，
所以；
故或7，
故选：D．
12．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得：
，
解得，
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
13．或1
【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，分两种情况：当点D落在的延长线上时，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题；当点F落在的延长线上时，由折叠的性质得，由菱形的性质得，利用，求的得利用即可求出．
【详解】解：当点D落在的延长线上时，
过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图，
由折叠得，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴
∴
设则，
由折叠得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴
解得，，
∴
当点F落在的延长线上时，如图2，
由折叠的性质得，
由菱形的性质得，
∴，即
∴，
综上，的长为或1．
故答案为：或1．
14．
【分析】延长，交于点，作于点，根据旋转的性质可得，，可求，，因为旋转，可知，，易证四边形和四边形为矩形，则，，，，进而可求，，在中，勾股定理可求的长．本题考查了旋转的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长，交于点，作于点，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
，，，，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
，
在四边形中，，，，
四边形是矩形，
，，，
在四边形中，，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解．
【详解】解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米），
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查三角形全等，勾股定理，正方形的性质：过作，交的延长线于，构造，得到，根据，，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
过作，交的延长线于，则，
又∵，
∵四边形和四边形是正方形，
中，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，，由勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：
设二人从出发到相遇用x个单位时间，
由题意得：，，，，
由勾股定理可得：，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得，再根据在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等得，再根据相似三角形的判定定理证明，由相似三角形的性质便可得出结论；
（2）先求得的面积，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得结果．
【详解】（1）证明：是的直径，弦，
，
，
，
，
，
；
（2）解：点是的中点，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是在于证明．
19．（1）的长度为米；（2）可以做到．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）设的长度为x米，用两种方法表示，进而联立求解即可；
（2）求出的长，然后比较即可．
【详解】（1）设的长度为x米，则米，
由题意知，，
，，
，
解得：，
即的长度为米；
（2）由勾股定理可知，（米），
∵，
∴可以做到．
20．(1)，理由见解析
(2)证明过程见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案；
（2）根据列出等式，化简即可得到答案．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
，
，．
又，
．
（2）证明：，
∴，
由（1）得，，
作于，
，，
，
，
由平行线间距离处处相等可知，
∴，
，
．
21．(1)
(2)正方形，，，的面积分别为：，，，
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，，
由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，，，四个正方形的面积之和正方形的面积，
答：，，，四个正方形的面积之和为；
（2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为，
设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得，
较短的直角边为，另一直角边为，
设的边长为，的边长为，则，解得：，
的面积是：；的面积是：，
同理：
设的边长为，的边长为，则，解得：，
的面积是；；的面积是：，
答：正方形，，，的面积分别为：，，，．
【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．
22．
【分析】先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形且，再根据勾股定理解决此题．本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
【详解】解：，，
．
是直角三角形且．
设，则．
在中，．
，
解得：，
即．
．
23．见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键．
根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；
【详解】解：图形的总面积可以表示为，
如图，
也可以表示为，
∴，
∴．
24．(1)
(2)12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是
∴米．
故答案为：；
（2）解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗杆的高度为12米．
任务名称
利用勾股定理测量隧道高度
工具配备
皮尺、计算器、记录本
数据测量
在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路边上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到的距离为13米，到的距离为20米，长度为21米，且．
模型构建
任务解决
（1）求的长度；
（2）若在点向公路垂直树立一根长10米的撑杆，请问是否可以做到？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
C
A
B
B
B
D
题号
11
12








答案
D
B