初中北师大版（2024）1 探索勾股定理课堂检测

这是一份初中北师大版（2024）1 探索勾股定理课堂检测，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=3，则AB的长为（ ）
A．13B．4C．29D．34
2．《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱形投壶内部底面直径是5cm，内壁高12cm，若箭长17cm，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A．6cmB．5cmC．4.5cmD．4cm
3．一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ）
A．110mmB．170mmC．200mmD．240mm
4．如图，在△CDE中，∠CDE=90°，DE=12cm，CE=13cm，以CD为边作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．5cm2B．25cm2C．144cm2D．169cm2
5．如图所示，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了1m，当他把绳子拉直，端点C刚好着地，下端C距离B点5m，则旗杆的高为（ ）
A．5mB．6mC．12mD．13m
6．如图，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．则AD的长为（ ）

A．78B．87C．1D．34
7．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A．S1=a2+b2+2abB．S2=c2+ab
C．S1=a2+b2+abD．S1=S2
二、填空题
8．如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，则底边BC上的高AD= ．
9．如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是 ．
10．文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于A点正下方12m的点P处，由于A点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离A点5m处的点B处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖 m．
11．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和a+b= ．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，AB=13，AD=12，AD⊥BC，AC=20．求△ABC的面积．
13．如图，在一面竖直的水泥墙CD的B处有两名跑酷运动员（BC=5米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（AC=10米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙CD的高度．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)求证：BD2+AD2=DE2．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AE，BF分别是BC，AC边上的高，AE与BF相交于点P，CP的延长线交AB于点D．
(1)问△ABF与△PCF全等吗？请说明理由；
(2)若AC=7，AF=3，求CD的长．
《1.1 探索勾股定理 同步训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案
1．D
【分析】根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可．
本题考查勾股定理的应用，涉及的知识点是直角三角形中勾股定理的内容．解题中用到的方法是公式代入法，直接应用勾股定理公式计算斜边．解题关键是准确识别直角边与斜边，避免边的位置混淆．易错点是记错勾股定理的公式，或混淆直角边与斜边的平方和关系．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AC=5，BC=3，
∴AB2=52+32=25+9=34，
∴AB=34．
故选D．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为17−12=5cm，
最小长度为17−52+122=4cm，
∴箭在投壶外面部分的长度不可能是6cm.
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出AC=80mm,BC=150mm，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：观察图中的数据，得出AC=120−40=80mm,BC=200−50=150mm,
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=6400+22500=170mm,
故选：B
4．B
【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．根据勾股定理可求出CD2，进而求出正方形ABCD的面积．
【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，
由勾股定理得：CD2=CE2−DE2=132−122=25，
∴ S正方形ABCD=CD2=25cm2．
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为x+1m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为x+1m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，
∴AB=12，
∴旗杆的高12m．
故选C．
6．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．
连接CD，由线段垂直平分线的性质推出BD=CD，设AD=x，由勾股定理得到4−x2=x2+32，求出x=78，得到AD=78．
【详解】解：连接CD，

∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
设AD=x，
∴CD=BD=AB−AD=4−x，
∵∠A=90°，
∴CD2=AC2+AD2，
∴4−x2=x2+32，
∴x=78，
∴AD=78．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【详解】解：由勾股定理可得a2+b2=c2，
由题意，可得S1=a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab=c2+ab，
S2=c2+2×12ab=c2+ab，
所以S1=S2
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．4
【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键．先根据等腰三角形的性质得到DC=3，再根据勾股定理即可求出AD即可．
【详解】解：∵AB=AC=5,BC=6，AD⊥BC，
∴CD=12BC=3，
∴AD=AC2−CD2=4，
故答案为：4．
9．14
【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和．进而可求出边长．
【详解】解：字母A所代表的正方形的面积=10+4=14．
则字母A所代表的正方形的边长是14．
故答案为：14．
10．13
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得AB=5m，AP=12m，∠BAP=90°，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得AB=5m，AP=12m，∠BAP=90°，
∴PB2=AB2+AP2=52+122=169，
∴PB=13，
即要挖到该文物至少要挖13m，
故答案为：13．
11．15
【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：a+b2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a,b之间的关系．根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据a+b2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是8，
∴ c2=8，
∴ a2+b2=c2=8，
∵直角三角形的面积是8−14=74，
∴12ab=74，
∴ ab=72，
∴ a+b2=a2+b2+2ab=c2+2ab=8+2×72=15．
∴ a+b=15 (舍去负值)．
故答案为：15．
12．126
【分析】本题考查了勾股定理．
根据勾股定理求出BD与DC的长，据此解答．
【详解】解：在Rt△ABD与Rt△ACD中，由勾股定理得，
BD=AB2−AD2=132−122=5,CD=AC2−AD2=202−122=16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×21×12=126．
13．152米
【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC，设CD=x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设水泥墙CD的高度为x米，则BD=CD−BC=x−5米,
由题意，知AC⊥CD，
所以∠ACD=90°,
因为两名运动员所经过的路程长度相等，
所以BD+AD=BC+AC，即x−5+AD=5+10，
所以AD=20−x米,
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即102+x2=20−x2，
解得x=152，即CD=152米,
答：水泥墙CD的高度为152米．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，再证明△AEC≌△BDC(SAS)，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在等腰Rt△DCE中， ∠DCE=90°，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
∴△AEC≌△BDC(SAS)．
∴AE=BD．
（2）由（1）知AE=BD，
∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B=∠BAC=45°．
∵△AEC≌△BDC，
∴∠EAC=∠B=45°．
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°．
∴AE2+AD2=DE2，
∴BD2+AD2=DE2．
15．(1)△ABF与△PCF全等，理由见解析
(2)CD=285
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据“AAS”证明△ABF≌△PCF即可；
（2）根据勾股定理求出AB=AF2+BF2=32+42=5，根据S△ABC=12BF⋅AC=12CD⋅AB，得出12×7×4=12×5×CD，求出结果即可．
【详解】（1）解：△ABF与△PCF全等
理由：∵BF⊥AC，
∴∠BFC=∠BFA=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBF=90°−45°=45°，
∴∠CBF=∠BCF，
∴CF=BF，
∵AE，BF分别是BC，AC边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CPF=90°，
∴∠CAD=∠CPF，
在△ABF和△PCF中，
∠FAB=∠FPC∠AFB=∠PFC=90°BF=CF，
∴△ABF≌△PCFAAS；
（2）解：∵AC=7，AF=3，
∴CF=AC−AF=4；
∴BF=CF=4，
∵BF⊥AC，
∴AB=AF2+BF2=32+42=5，
∵BF⊥AC，CD⊥AB，
∴S△ABC=12BF⋅AC=12CD⋅AB，
∴12×7×4=12×5×CD，
∴CD=285．