湖南省2025年普通高中数学学业水平合格性考试仿真试卷专家版四试题含解析

这是一份湖南省2025年普通高中数学学业水平合格性考试仿真试卷专家版四试题含解析，共13页。试卷主要包含了 已知复数则 ，则正确的是， 设命题 ， 不等式 的解集为， 已知 ， ，则， 函数 的零点所在的区间是等内容，欢迎下载使用。
本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共 4 页.时量 90 分钟，满分 100 分.
一､选择题：本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的并集与补集的含义可求解.
【详解】因为集合 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
2. 已知复数则 ，则正确的是（ ）
A. B. 的实部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的模、实部、虚部、共轭复数等知识确定正确答案.
【详解】 ， ，A 选项错误.
的实部为 ，虚部为 ，BC 选项错误.
的共轭复数为 ，D 选项正确.
故选：D
3. 设命题 ： ，则 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】
本题根据题意直接写出命题 的否定即可.
【详解】解：因为命题 ： ，
所以 的否定 ： ，
故选：B
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.
4. （ ）
A. 9 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可.
详解】由题意，得 ，
故选：B.
5. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】直接解一元二次不等式即可求解.
【详解】不等式 可化为 ，则解集为 ，
故选：A.
6. 下列函数中与 是同一个函数的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于 A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ,故 A 错误,
对于 B， ，与 的定义域相同，对应关系也相同，故 B 符合，
对于 C， ，与 的对应关系不相同，故 C 错误，
对于 D， 的定义域为 ，与 的定义域不相同，故 D 错误，
故选：B
7. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，
故选：C.
8. 已知一个样本由三个 ，三个 和四个 组成，则这个样本的方差为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出平均数，再利用方差公式即可.
【详解】由已知样本的平均数 ，
则方差 ，
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故选：D
9. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解.
【详解】由题意知， ，
，
所以 ，而函数为 上的增函数，
由零点的存在性定理知函数 的零点在区间 .
故选：C
10. 已知 为单位向量，它们的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量 在向量 上的投影向量为 ；
故选：B
11. 若平面α∥平面β，l⊂α，则 l 与β的位置关系是（ ）
A. l 与β相交 B. l 与β平行
C. l 在β内 D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行的性质定理即可得结果.
【详解】∵α∥β，∴α与β无公共点.
∵l⊂α，∴l 与β无公共点，
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∴l∥β.
故选： .
12. 已知 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 分段法求得正确答案.
【详解】 ，
所以 .
故选：C
13. 已知样本数据 ，则该组数据的第 60 百分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】将该组数据从小到大排列： ，共 8 项，又 ，
所以该组数据的第 60 百分位数为第 5 项，即 8.
故选：C.
14. 假设 ， 且 A 与 B 相互独立，则 （ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.58
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.
【详解】由 ， ，且 A 与 B 相互独立，得 ，
所以 .
故选：D
15. 在 中， ，则 （ ）
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A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】借助余弦定理计算即可得.
【详解】由余弦定理可得 .
故选：A.
16. 已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角函数的定义求出 ，再根据二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】因为角 的终边与单位圆交于点 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
17. 用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图 如图所示，其中 ，
，则原 的周长为（ ）
A. B. C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
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【分析】由直观图 画出原图的图像 ，分析求解边长，最后求解原 的周长即可.
【详解】由直观图 画出原图的图像 ，如图所示：
， ，
所以 ，
所以原 的周长为： .
故选：D
18. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数
与函数 即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值
函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，只有在定义域内有不单调的函数才可能构造“同值函数”，即可求解.
【详解】对于 A,函数 在定义域上单调递减，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故 A 错误；
对于 B，函数 在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故 B 错误；
对于 C，函数 在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故 C 错误；
对于 D，当定义域分别为 时，值域都为 ，故 D 正确.
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故选:D
二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
19. 已知函数 ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】分 、 解方程 ，综合可得出实数 的值.
【详解】当 时，由 可得 ；
当 时，由 ，此时 无解.
综上所述， .
故答案为： .
20. 已知圆锥的侧面积为 ，母线长为 3，则该圆锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为 ，根据侧面积求出 ，勾股定理求出圆锥的高，再求圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，则 ，可知 ，
从而圆锥的高 ，则圆锥的体积为 .
故答案为： .
21. 在 中，点 D 是边 上的动点，若 ，则 _________．
【答案】1
【解析】
【分析】由 与 共线可得 ， ，于是 ，进而
可得 .
【详解】因为 三点共线，则 与 共线，所以，存在实数 ，使得 ，
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即 ，所以 ，
故 ，又 与 不共线，
所以， ，从而 .
故答案为：1.
22. 已知 的面积为 ，则 的周长等于_____
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积求出 ，根据余弦定理求出 即可得解.
【详解】设 ，则 ，
因 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 的周长等于 .
故答案为：
三､解答题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，满分 30 分.解答应写出文字说明､证明讨程或演
算步骤.
23. 某校为了解学生每日行走的步数，在全校 3000 名学生中随机抽取 200 名，给他们配发了计步手环，统
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计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求 的值，并求出这 200 名学生日行步数的样本众数､中位数；
（2）学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于 13000 步的学生加 1 分，计入期末三好学生评选
的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
【答案】（1） ，9 千步， 千步
（2）360 人
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率和为 求出 ，再求样本众数、中位数；
（2）由表计算出大于或等于 13000 步的学生频率，将频率看作概率，可估算估计全校每天获得加分的人数
.
【小问 1 详解】
根据频率分布直方图可知，各组频率依次为
，
所以 ，
解得 .
因为 组频率最高，所以样本众数为 9 千步.
日行步数小于 8 千步的频率为 ，日行步数小于 10 千步的频率为
，所以中位数在 之间，记为 ，
则 ，解得 ，所以中位数为 千步；
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小问 2 详解】
由表可知，大于或等于 13000 步的学生频率为 ，
将频率看作概率，则全校每天获得加分的人数约为 （人），
所以估计全校每天获得加分的人数为 360.
24. 如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 2 的正方形， 与 交于点 ， 面
，且 .
（1）求证 平面 .；
（2）求 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，因为 平面 ，得到 ，结合直线与平面垂直的判定定理，
即可证得 平面 ；
（2）连接 ，得到 为 与平面 所成的角，在直角 中，即可求得 与平面
所成的角.
【小问 1 详解】
解：因为 是正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
解：连接 ，因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角，
因为 ，所以 ，
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在直角 中， ，
所以 ，即 与平面 所成的角为 .
25. 已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；
（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
由
，所以不等式 的解集为 ；
【小问 2 详解】
令 ，因为 ，所以 ，
，因为 ，
所以由 ，
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因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 时，取等号，
因此当 时， 恒成立，
只需 ，所以实数 的取值范围为 .
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