四川省资阳市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省资阳市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，命题，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．48B．63C．80D．96
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．7
6．某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ）

A．B．
C．D．
8．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）：
假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当时，的预测值为102
C．加工时间的5个观测数据的分位数为80
D．当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2
10．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ）
A．的周长为6B．，，成等差数列
C．角的最大值为D．面积的最大值为
11．已知是函数的极小值点，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则有3个相异的零点
D．方程有3个不同的实数根
三、填空题
12．已知，，则 .
13．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则 .
14．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求函数的最小值，以及相应的集合.
16．某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
(2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.
附：；
17．已知函数（其中）.
(1)当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围.
18．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，数列的前项和为.求证：.
19．已知函数.
(1)若有3个极值点，，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）求证：；
(2)若，，求的取值范围.
参考答案
1．C
解析：因为集合，，
所以
故选：C.
2．D
解析：由题意得，
故选：D.
3．B
解析：或，
因为成立，但不成立，
所以是成立的必要不充分条件.
故选：B
4．A
解：设等差数列的公差为，，
所以，解得，
所以，由等差数列前项和公式得
故选：A
5．B
解析：由，，则，
所以，
则.
故选：B
6．D
解析：因为，则，
所以，
从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为，
由题意可知，由二项分布的期望可得.
故选：D.
7．D
解析：由题意，
.
故选：D
8．A
解析：令，则，化简得，
即，换底后得到；
令，则，化简得，
即，换底后得到；
令，则；化简得，
即，换底后得到；
分别画出它们的图象为：

由图可以看出.
故选：A.
9．AD
解析：由题意，，
，
因为经验回归直线必过点，即点，
则，解得，即，故A正确；
当时，，故B错误；
将加工时间的5个观测数据从小到大排列为：，
由于，则分位数为，故C错误；
当时，，
则残差为，故D正确.
故选：AD
10．ABD
解析：对于B，因为，所以，
则，，成等差数列，故B正确，
对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确，
对于C，由余弦定理得，
由基本不等式得，当且仅当时取等，
可得，由余弦函数性质得在上单调递减，
而，得到，即角的最大值为，故C错误，
对于D，由三角形面积公式得，
可得面积的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
解析：对于A，因为，所以，
因为是函数的极小值点，所以，
可得，解得，故A正确，
对于B，因为，所以，则，即，
由正弦函数性质得，由余弦函数性质得，
由已知得，则，
令，，令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
得到，故B错误，
对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增，
而，得到，，
当时，，当时，，
若讨论的零点个数，则讨论的解的个数，
故讨论与的交点个数即可，
如图，作出符合题意的图象，
由图象可得，当时，与有3个相异的交点，
即有3个相异的零点，故C正确，
对于D，令，若求方程的实数根，
则先求的解的个数，即求的解的个数，
令，则求的零点个数，
由已知得在上单调递减，在上单调递增，
而，，，，
可得，，
由零点存在性定理得存在，作为的零点，
则是的两个解，后续求解与即可，
由已知得在上单调递减，在上单调递增，
若，当时，，此时无解，排除，
当时，，此时有一个解，
当时，，此时有一个解，
若，当时，，此时无解，排除，
当时，，此时无解，
当时，，此时有一个解，
综上，方程有3个不同的实数根，故D正确.
故选：ACD
12．2
解析：因为，
所以.
故答案为：2
13．
解：根据题意，随机变量的可能取值为，
对应的概率为：，，，
所以，
故答案为：
14．1
解析：由题意，
代入，得，则夹角为，
如图所示在直角三角形中，，
，
令，则，
即为向量与的夹角为，
则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为，
如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上，
由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求，
所以点即为圆心，半径，
则，此时共线且点C在之间，
故的最小值是1.
故答案为：1.
15．（1）由题意得，
化简得，
所以的最小正周期为.
（2）由（1）可知取最小值时，
即，解得，
此时，.
16．（1）提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于.
（2）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，
（ⅰ）依题意，，
，
由全概率公式得：.
（ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：
．
17．（1）因为，.
所以，，
所以.
所以函数在点处的切线方程为：即，过定点.
所以当变化时，曲线在点处的切线过定点.
（2）在区间上单调递增，则在上恒成立.
所以，.
设，，
则，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以，即的取值范围为.
18．（1）由，则，
又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，则，
所以
.
（3）由，
则，
由于，则，
所以.
由，则，
要证，即证，
由，则，
则，
下面证明，
当时，，即；
假设，，时，，
则时，
.
综上所述，，则，
所以，
则，当且仅当时取等，
则，即.
综上所述，.
19．（1）（i0当时，不符合题意，
当时，，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
极小值，极大值，
且由指数函数与二次函数增长速度可得，当趋于时，趋于，
当趋于时，趋于，
作出图像：
则要使有3个极值点，需使与有3个交点，
则，即.
设与的3个交点横坐标从小到大分别为，，，
则由图像可得当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则极大值点为，极小值点为符合题意，
故的范围为.
(ii)证明：由（i）,,
且时，单调递增，则，
由于，则，
代入得，
设，
则，
则，即，
综上：.
（2）设，
则，
设，则，
设，则，
设，则，
由于时，，所以，则单调递增，
当时，，则单调递增，
则，则单调递增，
则，则单调递增，
则符合题意；
当时，，则存在，使得时，，
则在单调递减，则，
则在单调递减，不符合题意；零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/min
67
74
80
86
93
生产线
检测结果
合计
合格
优良
甲生产线
20
180
200
乙生产线
60
240
300
合计
80
420
500
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828