安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1 ．已知直线 l 经过（3,2）且与直线x + 2y一1 = 0 垂直，则直线 l 的方程为 ( )
A ． 2x + y 一 8 = 0 B ． 2x 一y 一 4 = 0
C ． x 一 2y +1 = 0 D ． x + 2y 一 7 = 0
2 ．已知{bn } 是等比数列，若b3 = 3,b7 = 27 ，则b5 的值为 ( )
A ．9 B ． 一9 C . ±9 D ．81
3 ．已知圆C1 : x2 + 4x + y2 + 3 = 0 与圆C2 : (x 一 a )2 + y 2 = 4 相交，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ． 3 < a < 5 B ． 一5 < a < 一3
C ． 一1 < a < 1 或 一5 < a < 一3 D ． 一1 < a < 1 或3 < a < 5
4 ．已知等差数列{an } 的前m 项和为 30 ，前3m项和为 180 ，则它的前2m项和为 ( )
A ．60 B ．90 C ．120 D ．140
5 ．已知双曲线 一 与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是 ( )
A ．双曲线的焦点坐标为(一2, 0) ， (2, 0) B ．双曲线的渐近线方程为y = ±x
C ．双曲线的离心率 D ．双曲线的实轴长为 1
2 2
6．已知点P 为椭圆上任意一点，直线l 过ΘM ：x2 + y2 一 4x + 3 = 0 的圆心且与ΘM 交于 A, B 两
点，则P--A . P--B 的取值范围是 ( )
A ． [3, 35] B ． (3, 35] C ． [2, 6] D ． (2, 6]
7 ．已知数列{an } 的前n 项和为sn ，且a1 = 1 ， a2 = 2 ， an+1 + an = 3n ，则 ( )
A ． S19 = 300 B ． S31 = 720
C ．当 n 为偶数时， an = 3n 一1 D ． n 为奇数时， Sn =
2 2
8 ．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线 一 右支上的一点，F 是 E 的右焦点，延长 PO，
PF 分别交 E 于 Q ，R 两点，已知 QF⊥FR ，且| QF |= 2 | FR | ，则 E 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D .
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
9 ．已知向量 = (1, 1, 0), = (0, 1, 1), = (1, 2, 1) ，则下列结论正确的是 ( )
A ．向量 与向量 的夹角为 B ． 丄 ( 一 )
C ．向量 在向量 上的投影向量为 D ．向量 与向量 , 共面
10 ．已知抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、B 两点，直线 l： x=一 1 ，M 为
l 上一动点，则下列结论正确的是 ( )
A ．对任意点 M，均有M–– . M–– ≥ 0
B ．若 AA1 丄 l ， A1 为垂足，且MA 为上A1AB 的平分线，则MF ⊥ AB
C ．若 AF = 2 BF ，则| AB |=
D.若 AF = 2 BF ，则 l 倾斜角的正弦值为
11．如图，已知正三角形ABC 的边长为 3 ，取正三角形ABC 各边的三等分点D, E, F 作第二个正三角形，然后再 取正三角形DEF 的各边的三等分点M, N, P 作正三角形，以此方法一直循环下去．设正三角形ABC 的边长
为a1 ，后续各正三角形的边长依次为a2 , a3 , … , an ；设△AEF 的面积为b1 ， △EMP 的面积为b2 ，后续各三角 形的面积依次为b3 , … , bn ，则下列选项正确的是 ( )
A ． a3 = 1
B ．从正三角形 ABC 开始，连续 n 个正三角形面积之和为
C ．使得不等式bn > 成立的n最大值为 3
D ．数列{bn } 的前n 项和Sn <
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12 ．已知数列{an } 的前 n 项和Sn = 一n2 + 2n + 3 ，则通项公式an = .
13 ．M，N 分别为边长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DA 与 DC 上的点且DA, DN = 则
D 到平面 D1MN 的距离为 .
14 ．已知双曲线x2 一 y2 = 1与直线l : y = kx + m(k ≠ ±1) 有唯一的公共点A ，则 A 坐标为 （用 k,m 表 示）; 过点A 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于B(x , 0) , C (0, y ) 两点，当点A 运动时，点D(x , y ) 的 轨迹方程是 .
四、解答题
15 ．在等差数列{an } 中， a3 = 7, a9 = 一5, {an } 的前n 项和为Sn .
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）求Sn 的最大值及Sn 取得最大值时n 的值；
（3）求 {a n } 的前 n 项和Tn .
16 ．已知圆E经过点A0, 1 , B 1,4 ，且与Y轴相切.
（1）求圆E的方程；
（2）过点P(−5,4)且与直线X + Y − 3 = 0 平行的光线经X轴反射后与圆E相交于MN，求直线 MN 的方程；
（3）在（2）的条件下，求△ EMN 的面积.
17 ．在四棱锥P 一 ABCD 中， 上ABC = 上ACD = 90。， 上BCA = 上CDA = 30。，PA 丄 平面 ABCD ， E ，F 分别
为PD ，PC 的中点， AB = 1 .
（1）求证：平面PAC 丄 平面AEF ；
（2）若二面角A 一 PD 一 C 的余弦值为 ，求PA .
18 ．已知数列{an}的前n项和为sn ， 3an = 2Sn + 3 （n ∈ N* ）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn = 2 lg3 an 1 ，数列 {}的前n项和为Tn；
n
证明：
19．已知椭圆 的上顶点为A(0, 1)，离心率3 ，过点P 的直线l 与椭圆Γ 交
于B ， C 两点，直线 AB 、 AC 分别与x 轴交于点M 、 N .
（1）求椭圆Γ 的方程；
（2）求 △AMN 的重心坐标；
（3）若S△AMN = 2S△ABC ，求直线l 的方程.
参考答案：
12 ． , n ≥ 2
6 13 .
7
答案不唯
15 .
（1）记数列{an } 的公差为5 ，解得a1 = 11,d = -2 ，
所以an = 11+ (n -1)× (-2) = -2n +13
由 知， Sn = 11n + = -n 2 + 12n = - 2+ 36 ，
所以，当n = 6 时， Sn 取得最大值36
（3）因为an = 13 - 2n ，
所以当13- 2n ≥ 0 时，得n ≤ ,
即当n ≤ 6 时有an > 0 ；当n ≥ 7 时有an < 0 ；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
B
B
A
D
B
题号
9
10
11
答案
BD
ABC
ABD
T n
T n
当n ≤ 6 时， 当n ≥ 7 时，
= a1 + a2 + a3 + …+ an = a1 + a2 + a3 + …+ an = Sn = 1 - n
= a1 + a2 + …+ a6 - a7 - … - an
2
,
= 2 (a1 + a2 + …+ a6 )- (a1 + a2 + a3 + …+ a n )
= 2S6 - Sn = 2( 12× 6 - 36) -( 12n - ) = -12n + 72，
综上， ∈ N*
16 .
（1）设圆E的方程为(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (r > 0)，
由题可得
则a2 + (1 − b)2 = a 2 ⇒ b = 1 ，(1 − a)2 + (4 − b)2 = a 2 ⇒ a = 5,
所以
故圆E的方程为(x − 5)2 + (y − 1)2 = 25 ．
（2）
设过点p(−5,4)且与直线x + y − 3 = 0 平行的光线所在直线为l1，
则斜率为k1 = − 1 ，故直线l1 的方程为x + y + 1 = 0， 设经x轴反射后为直线lMN ，斜率k2 =− k1 = 1，
则直线lMN 的方程为x − y + 1 = 0 ，
（3）圆心E到直线lMN 的距离为
故△ EMN的面积为 ．
17 .
（1）证明： ∵ PA 丄 平面 ABCD ， ∴ PA 丄 CD ，
又∵上ACD=90。， ∴ CD 丄 AC ， PA∩ AC = A ， ∴ CD 丄 平面PAC ， 又∵E ，F 分别为PD ， PC 的中点 ∴ EF//CD ， ∴ EF 丄 平面PAC ，
∵ EF 平面 AEF ， ∴平面 AEF 丄 平面PAC
（2）如图建系
答案第 2页，共 5页
∵ AB = 1 ， 上BCA = 上CDA = 30。， 上ABC = 上ACD = 90。，
∴ AC = 2 ， BC = 3 ， AD = 4 ， CD = 2 3 ，
∴ A(0, 2, 0) ， C (0, 0, 0) ， D (2·、i3, 0, 0 ) ，设PA = m ， ∴P(0, 2, m) ， - = (0, 0, m) ，
- = (2S3, —2, —m ) ， -D-→ = (2、i3, 0, 0 )，
设平面 APD 和平面PDC 的一个法向量分别为– = (x1, y1, Z1 ， = (x2,y2,z2 )，
∴ {z110— 2y1 — mz1 = 0 → = (1, ··i3 , 0) ， z2 — mz2 = 0→ ,
显然二面角 A — PD — C 平面角为锐角， ∴ csθ=
∴ m = 2 ，即PA = 2 ． 15
18 ．（1） 3a = 2S + 3 .
n n
∴ n ≥ 2 时，
3an — 3an — 1 = 2 (Sn — Sn — 1 )
化为an = 3an — 1 ，
n = 1 时， 3a1 = 2S1 + 3 ，解得a1 = 3 .
∴数列{an }是等比数列，首项为 3 ，公比为 3，
∴ an = 3n ．
设其前n 项和为Tn .
答案第3页，共 5页
两式相减得： Tn = + + + … + 2n —1)(|( ),|n+1 ，
化简可得 n +1 12
T = 1 — n 3n
（3）
当 n=1 时， < .
12 |( ( 3, ,| 12 3.1— 2 32 .3 — 2 33 .5 — 2 3n . (2n —1)— 2 12
1+ 1 (|1 — (| 1 )|n )| < 13 : 1 + 1 + 1 + … + 1 < 13
: + + + … + <
19 .
（1）依题意b = 1 ， e = = ，又c2 = a2 —b2 ，
解得a = 2 ，所以椭圆 Γ 的方程为 + y2 = 1 ；
（2）依题意可得直线l 的斜率存在、不为0 且斜率为负数， 设直线l : y —1 = k(x + 2) (k < 0)
[y = kx + 2k +1
{ x2 2 → (1+ 4k2 )x2 + (16k2 + 8k)x +16k2 +16k = 0 ，
l 4 + y = 1
直线 AB ： y —1 = x ，令y = 0 ，得 同理可得： xN =
= —4
答案第 4页，共 5页
设 △AMN 的重心为G ，则xG = ， yG =
所以 ，即 △AMN 的重心坐标为
（3）依题意可得直线l 的斜率存在、不为0 且斜率为负数，
设直线l : y -1 = k(x + 2) (k < 0) ， B(x1, y1 ) ， C(x2, y2 ) (x1 ≠ 0, x2 ≠ 0, y1 ≠ 1, y2 ≠ 1)，
则直线 AB ： y -1 = x ，令y = 0 ，得 同理可得： xN = ； 所以xN - xM = - -= - = (x1 +x( + 2)
设直线l 与y 轴交于Q 点，则Q(0, 2k + 1) ，所以AQ = -2k ，S△AMN =
因为S△AMN = 2S△ABC ，故得 = x1x2 + 2
代入①得 解得 ，
所以 故直线l 的方程为x + 2y = 0