安徽省淮南第四中学2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（原卷版）-A4

这是一份安徽省淮南第四中学2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（原卷版）-A4，共4页。
时间：120分钟 分值：150
2025．1
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
3. 已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
7. 已知数列满足，，，若数列前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，与双曲线相交于点Q，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．）
9. 无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）
A. 可能为等差数列
B. 可能为等比数列
C. 中一定存在连续三项构成等差数列
D. 中一定存在连续三项构成等比数列
10. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A. B. 点到直线的距离为
C. D. 直线与平面所成角的正弦值为
11. 祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题，公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理，“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等，更详细点说就是，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外同一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线：与它的渐近线以及直线，围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体I，将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体II，则关于这两个旋转体叙述正确的是（ ）
A. 由垂直于轴的平面截旋转体II，得到的截面为圆面
B. 旋转体II体积为
C. 将旋转体I放入球中，则球的表面积的最小值为
D. 旋转体I的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个与直线都相切的圆的标准方程______．
13. 设F为双曲线C：的左焦点，，分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足，则双曲线C的焦距为_______.
14 已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，且，
（1）求通项公式和；
（2）若，求数列的前n项和
16. 已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若的面积等于3，求直线的一般方程.
17. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点.
（1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC；
（2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值.
18. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线C：，其中点，依次为左、右顶点，点B为的下顶点，点，依次为的左、右焦点.若点，分别为曲线，的圆心.
（1）求的方程；
（2）和D分别在曲线和曲线上.求出线段的最大值；
（3）若过点，作两条平行线，分别与，和，交与M，N和P，Q，求的最小值.
19. 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
（1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
（2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
（3）若是数列，证明：存在正整数，使得.