湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了 已知集合，则， 若，则“”是“”的， 已知函数， 已知，若，，，则， 已知函数其中且， 下列命题中正确的是， 已知，，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分150分.考试用时120分钟）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可
【详解】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A，
故选：D
4. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ）
A. 等于20gB. 大于20gC. 小于20gD. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，
则，解得，
，
当且仅当时，取到等号，而，所以.
故选：B
5. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A. 3B. －1C. 1或－3D. －1或3
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的概念及性质即得.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或3；
又在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
故．
故选：A．
6. 已知，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求证其奇偶性以及其在上的单调性即可比较大小.
【详解】因，则为偶函数，
因时，，在上单调递增，
又，故
故选：D
7. 已知是定义在上的增函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，把不等式，转化为，结合函数的单调性，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】根据，，
可得，
由，，
可得，则，
又是定义在上的增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】本题的易错点是不能利用对已知不等式进行转化.
8. 已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】因为当时，恒有，
所以当时，恒有，
不妨设，则，即，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】通过特殊值、作差法及不等式性质，逐一判断各选项命题的真假.
【详解】选项A，当时，，故A错误；
选项B，，因，，则，
故，B正确；
选项C，由得，又，故，C正确；
选项D，由得，故，D错误.
故选：BC
10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值是9
C. 的最小值为2
D. 若，则的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】基本不等式求出各个选项中代数式的最值，即可得到结果.
【详解】A选项，，当且仅当，即时，取等号，A选项正确；
B选项，，当且仅当，即时，取等号，B选项正确；
C选项，，当且仅当时，取等号，但当方程无解，C选项错误；
D选项，，，
当且仅当时，即时，取等号，D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于直线对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D.
【详解】由为奇函数，得，
令，得，B正确．
对于，
令，得，A错误．
因为是偶函数，所以，
对于，以代替x得①，
则②，所以，C正确．
①与②相减得，
即，则的图象关于直线对称，D正确．
故选：BCD
二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数的定义域为，
则对于函数，令，解得，
所以函数的定义域是．
故答案为：
13. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又
所以上述两不等式相加可得，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：.
14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据“互倒函数”可以求出函数在上的解析式，将，，使得转化为函数与函数值域的包含问题，对进行分类讨论即可求解.
【详解】因为当时，且为“互倒函数”，
故当时，，
当时，在上为增函数，
且在上的值域为，
而在上的值域为，
而，故且，
所以，其中，所以，
而，故，
所以
因为，由双勾函数的性质可得为减函数，
，所以，所以.
当时，在上的值域为，
而在上的值域为，
同理，
若，则，故即，
故，而，且；
若，则，故即，
故，而，且；
综上，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，注意根据值域的不同形式分类讨论.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知不等式解集为A，且集合.
（1）若，求实数k的取值范围；
（2）若，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先解出不等式的解集得到，再根据得到，列出关于的不等式求解；
（2）根据得到，分和两种情况讨论，列出关于的不等式求解.
【小问1详解】
，，，，
，，
，，，
实数k的取值范围为；
【小问2详解】
，，
，，
当时，则，解得，满足，符合题意；
当时，则，解得，
，，此不等式无解；
综上可知，实数k的取值范围为.
16. （1）计算：；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由指数的运算即可计算出结果；
（2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果；
（3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值.
【详解】（1）原式；
（2）原方程两边同时平方得：，解得，
方程两边再平方得：，解得，
所以.
（3）由可得，即，
又，令，则，
解得，即.
17. 2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）16 （2）.
【解析】
【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值；
（2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值.
【小问1详解】
设草坪的宽为x米，长为y米，
因为两块绿草坪面积均为400平方米，所以，
因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即，
解得，所以草坪宽的最大值为16米；
【小问2详解】
设整个绿化面积为S平方米，
由题意可得，，当且仅当时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
18. 已知奇函数的定义域为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以，
又因为定义域关于原点对称，所以，即，
所以;
【小问2详解】
在上单调递增，
设任意，且,
则,
因为，所以，
又，，
所以，即，
所以在上单调递增；
【小问3详解】
因为，所以，
由存在，使得成立，
则，存在时成立，
令，，
则，存在时成立，
构造函数，
故，
而，当且仅当，即取等号，
对于单调递减，在单调递增，
所以，,
所以,
∴
故的取值范围为.
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”.
（1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
（2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b；
（3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2），.
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可；
（2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可；
（3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可.
【小问1详解】
在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根．
即的根，故，即存在“完美区间”.
【小问2详解】
若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，因为，解得，.
【小问3详解】
，图象如图所示，令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在
（ⅱ）当时，，由可得，，即，
，由，即，解得，
又，，，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值.