最新版高考数学【一轮复习】精品讲义练习资料 (3)

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【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cs Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.
2.(必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝________.
答案 eq \r(2)＋eq \f(\r(6),3)
解析 B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(c,sin 75°)，得c＝eq \r(2)＋eq \f(\r(6),3).
3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.
答案 eq \f(2π,3)
解析 由余弦定理得
cs∠BAC＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
又∠BAC∈(0，π)，故∠BAC＝eq \f(2π,3).
4.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为eq \f(\r(2),2)，则C的大小是________.
答案 45°或135°
解析 根据题意，得ab＝2，
则S△ABC＝eq \f(1,2)×2×sin C＝eq \f(\r(2),2)，解得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
则C＝45°或135°.
第一课时 正弦定理和余弦定理
考点一 利用正弦定理解三角形
例1 (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acs B－bcs A＝c，且C＝eq \f(π,5)，则B＝( )
A.eq \f(π,10)B.eq \f(π,5)C.eq \f(3π,10)D.eq \f(2π,5)
答案 C
解析 因为acs B－bcs A＝c，所以由正弦定理得sin Acs B－sin Bcs A＝sin C＝sin(B＋A)，
则2sin Bcs A＝0.
在△ABC中，sin B≠0，则cs A＝0，A＝eq \f(π,2)，
所以B＝π－A－C＝π－eq \f(π,2)－eq \f(π,5)＝eq \f(3π,10).
(2)(多选)(2024·张家口部分学校段测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A.b＝10，A＝45°，C＝60°
B.b＝eq \r(15)，c＝4，B＝60°
C.a＝eq \r(3)，b＝2，A＝45°
D.a＝8，b＝4，A＝80°
答案 BC
解析 对于A，因为b＝10，A＝45°，C＝60°，
所以B＝75°，
所以△ABC只有一解，故A错误；
对于B，因为b＝eq \r(15)，c＝4，B＝60°，
所以由正弦定理得
sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\r(15))＝eq \f(2\r(5),5)