最新版高考数学【一轮复习】精品讲义练习资料 (1)

这是一份最新版高考数学【一轮复习】精品讲义练习资料 (1)，共21页。试卷主要包含了理解平面向量基本定理及其意义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a，b是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
解析 (2)若b＝(0，0)，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)无意义.
2.(必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
答案 3
解析 因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.
3.(必修二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
答案 (1，5)
解析 设D(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5，))即D(1，5).
4.在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.
答案 eq \f(1,2) －eq \f(1,6)
解析 如图，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).
考点一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2024·安阳段测)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE＝EC，CF＝2BF，设eq \(AE,\s\up6(→))＝m，eq \(AF,\s\up6(→))＝n，则eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)m＋eq \f(1,2)nB.eq \f(1,2)m＋eq \f(3,4)n
C.eq \f(3,5)m＋eq \f(4,5)nD.eq \f(4,5)m＋eq \f(3,5)n
答案 D
解析 由题意，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
而eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋y))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,3)))eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)).
由对应系数相等得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋y＝1，,x＋\f(y,3)＝1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5)，))
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)m＋eq \f(3,5)n.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且eq \(EB,\s\up6(→))＝meq \(DE,\s\up6(→))(m∈R)，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋2μ＝0，则m＝________.
答案 3
解析 在平行四边形ABCD中，
因为eq \(EB,\s\up6(→))＝meq \(DE,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝m(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋m)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(m,1＋m)eq \(AD,\s\up6(→)).
又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)).
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋m)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(m,1＋m)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(1＋m)eq \(AE,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(AD,\s\up6(→)).
又eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，
所以λ＝1＋m，μ＝1－m，
又λ＋2μ＝0，
所以1＋m＋2(1－m)＝0，
解得m＝3.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C.若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B共面
D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
答案 AC
解析 对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；
对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，故D错误；
由平面向量基本定理知A，C正确.
(2)(2024·江西重点中学协作体联考)如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝________.
答案 eq \f(4,3)
解析 因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，
所以eq \f(AD,CM)＝eq \f(AP,PC)＝2，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝y＝eq \f(2,3)，x＋y＝eq \f(4,3).
考点二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
答案 eq \f(8,5)
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，
∵eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))
故λ＋μ＝eq \f(8,5).
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
训练2 (1)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A.(2，4)B.(－14，16)
C.(6，1)D.(22，－11)
答案 A
解析 设P(x，y)，
则eq \(PN,\s\up6(→))＝(10－x，－2－y)，eq \(PM,\s\up6(→))＝(－2－x，7－y)，
由eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10－x＝－2（－2－x），,－2－y＝－2（7－y），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))∴P(2，4).
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b
答案 D
解析 如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，
所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－2，))
所以c＝3a－2b.故选D.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数
例3 (多选)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，3)，c＝(－1，2)，若(ma＋c)∥(a＋nb)(m，n∈R)，则(m，n)可能是( )
A.(2，1)B.(0，－1)
C.(3，2)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))
答案 ABD
解析 由题意得ma＋c＝(3m－1，m＋2)，
a＋nb＝(3＋2n，1＋3n).
由(ma＋c)∥(a＋nb)可得
(3＋2n)(m＋2)－(1＋3n)(3m－1)＝0，
整理得mn＝n＋1.
A中，2×1＝1＋1，满足；
B中，0×(－1)＝－1＋1，满足；
C中，3×2≠2＋1，不满足；
D中，(－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)＋1，满足.
角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2))
解析 因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，
所以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，同理点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))).
设M的坐标为(x，y)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，而eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2))).
因为A，M，D三点共线，
所以eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线，
所以－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.
而eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y－\f(5,4)))，
eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,4)))，
因为C，M，B三点共线，
所以eq \(CM,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线，
所以eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋4y＝20，,7x－16y＝－20，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(12,7)，,y＝2，))
所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)).
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练3 (1)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A.(3，1)B.(1，－1)
C.(3，1)或(1，－1)D.(3，1)或(1，1)
答案 C
解析 ∵A(2，0)，B(4，2)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，2).
∵点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))或eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(AP,\s\up6(→))，
故eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，1)或eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，
故P点坐标为(3，1)或(1，－1).
(2)(多选)(2024·德州模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是( )
A.－2B.eq \f(1,2)C.1D.－1
答案 ABD
解析 由题知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假设A，B，C三点共线，
则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，
则m≠1.故选ABD.
【A级 基础巩固】
1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12)B.(23，12)
C.(7，0)D.(－7，0)
答案 A
解析 由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－23，,y＝－12，))
所以c＝(－23，－12).
2.(2024·嘉兴调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若a＋2b与2a－b平行，则实数m＝( )
A.－eq \f(5,2)B.－eq \f(1,2)C.eq \f(3,2)D.eq \f(7,2)
答案 B
解析 已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
得a＋2b＝(－1，2)＋2(m，1)＝(2m－1，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(m，1)＝(－m－2，3).
由a＋2b与2a－b平行，
有3(2m－1)－4(－m－2)＝0，解得m＝－eq \f(1,2).
3.(2024·西安质检)设k∈R，下列向量中可与向量q＝(1，－1)构成一个基底的是( )
A.b＝(k，k)B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1)D.e＝(k2－1，k2－1)
答案 C
解析 对于选项A，B，若k＝0，则b＝(0，0)，c＝(0，0)，均不满足构成基底的条件，所以A，B不符合题意；
对于选项C，因为∀k∈R，k2＋1≠0，且(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1＝－2(k2＋1)≠0恒成立，
所以d与q不共线，满足构成基底的条件，
所以C符合题意；
对于选项D，若k＝±1，则e＝(0，0)，不满足构成基底的条件，所以D不符合题意.故选C.
4.如图，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CE,\s\up6(→))，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a
B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b
C.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b
D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a
答案 D
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a.
5.(2024·湘潭部分校联考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c＝xa＋yb，则x＋y＝( )
A.－eq \f(5,2)B.eq \f(5,2)C.－4D.4
答案 A
解析 设网格中小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量i，j，如图所示，
则有a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j.
由c＝xa＋yb，得
－i－3j＝x(－i＋j)＋y(6i＋2j)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＝－x＋6y，,－3＝x＋2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－\f(1,2)，))
∴x＋y＝－eq \f(5,2).
6.(2024·石家庄质检)在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(3,4)C.eq \f(4,5)D.eq \f(5,6)
答案 A
解析 如图，因为点M是BC的中点，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))).
因为N，D，C三点共线，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－μ)eq \(AN,\s\up6(→))，
又eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝μeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－μ)λeq \(AB,\s\up6(→))，
由平面向量基本定理可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( \f(2,5)＝μ，,\f(2,5)＝（1－μ）λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(μ＝\f(2,5)，,λ＝\f(2,3).))
7.(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))B.eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))D.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
答案 AC
解析 如图所示，则
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).故选AC.
8. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为________.
答案 (2，2)
解析 由题意得eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(→))，且eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
9.(2024·河北部分学校联考)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(m，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，－2).若B，C，D三点共线，则m＝________.
答案 －1
解析 因为向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(m，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，
则eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－m，1)，
而eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，－2)，
又B，C，D三点共线，则有eq \(BC,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，
因此－2(1－m)＋4＝0，解得m＝－1.
10.若在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
答案 0
解析 由题意可知，
在Rt△ABD中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，
所以BD＝1，所以BD＝eq \f(1,3)BC，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因为eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(2,9)，μ＝eq \f(1,9)，
所以λ－2μ＝eq \f(2,9)－eq \f(2,9)＝0.
11.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标.
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，b和c不共线，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)
＝(0，20).
∴M(0，20).
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)
＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18).
12.如图，在△ABC中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(CN,\s\up6(→))交于点P，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值.
解 (1)在△ABC中，
由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
得4eq \(AM,\s\up6(→))－3eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即3(eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，
即3eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为eq \f(1,4).
(2)∵eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，
eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3λ,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(3λ,2)eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
∵N，P，C三点共线，∴eq \f(3λ,2)＋eq \f(λ,4)＝1，
解得λ＝eq \f(4,7)，x＝eq \f(3λ,4)＝eq \f(3,7)，y＝eq \f(1,4)λ＝eq \f(1,7)，
故x＋y＝eq \f(4,7).
【B级 能力提升】
13.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.
14.(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为eq \f(1,16)
C.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最大值为16
D.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最小值为4
答案 BD
解析 因为D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \(AD,\s\up6(→))，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋4μeq \(AD,\s\up6(→))，
因为P为BD上一点，
所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2eq \r(λ·4μ)＝4eq \r(λμ)，解得λμ≤eq \f(1,16)，
当且仅当λ＝4μ＝eq \f(1,2)时取等号，故λμ的最大值为eq \f(1,16)，故A错误，B正确；
eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)＋\f(1,4μ)))(λ＋4μ)＝2＋eq \f(λ,4μ)＋eq \f(4μ,λ)
≥2＋2eq \r(\f(4μ,λ)·\f(λ,4μ))＝4，
当且仅当λ＝4μ＝eq \f(1,2)时取等号，
故eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最小值为4，故C错误，D正确.
15.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________.
答案 3
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，
直线BD的方程为BD：
y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝eq \f(2,\r(5)).
P点坐标可表示为
x＝1＋rcs θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋eq \f(r,2)sin θ＋rcs θ
＝2＋eq \f(\r(5)r,2)sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为
2＋eq \f(\r(5),2)×eq \f(2,\r(5))＝3.
16.如图，在直角梯形ABCD中，|eq \(DA,\s\up6(→))|＝2，∠CDA＝eq \f(π,3)，eq \(DA,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，∠B为直角，E为AB的中点，eq \(DP,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(λ∈R，0≤λ≤1).
(1)当λ＝eq \f(1,3)时，用向量eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))表示向量eq \(PE,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(PE,\s\up6(→))|的最小值，并指出相应的实数λ的值.
解 (1)当λ＝eq \f(1,3)时，eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，
∴eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)[(eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DP,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DA,\s\up6(→))－\f(1,3)\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(DC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(DA,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(DA,\s\up6(→)).
(2)∵eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)[(eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DP,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(DA,\s\up6(→))－λ\(DC,\s\up6(→))＋（1－λ）\(DC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(DA,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(DA,\s\up6(→))＋（1－2λ）\(DC,\s\up6(→))))
＝eq \f(3,4)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1－2λ,2)eq \(DC,\s\up6(→))，
易知|eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(DA,\s\up6(→))|＝2，
∴|eq \(PE,\s\up6(→))|2＝eq \f(9,16)eq \(DA,\s\up6(→))2＋eq \f(（1－2λ）2,4)eq \(DC,\s\up6(→))2＋eq \f(3,4)(1－2λ)·eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝4λ2－7λ＋eq \f(19,4)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(7,8)))eq \s\up12(2)＋eq \f(27,16)，
∵0≤λ≤1，
∴当λ＝eq \f(7,8)时，|eq \(PE,\s\up6(→))|2有最小值eq \f(27,16)，
即|eq \(PE,\s\up6(→))|有最小值eq \f(3\r(3),4).条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底