最新版高考数学【一轮复习】精品讲义练习资料 (1)

这是一份最新版高考数学【一轮复习】精品讲义练习资料 (1)，共17页。试卷主要包含了事件的关系，事件的运算，概率与频率，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.事件的关系
3.事件的运算
4.概率与频率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
[常用结论与微点提醒]
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.
2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A.至多一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都没有中靶
答案 D
解析 连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.
3.(必修二P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
答案 A
解析 设A＝{1，3}，B＝{1，5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，
∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.
4.(必修二P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面向上，504次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为________.
答案 0.5
解析 掷一次硬币正面向上的概率为0.5.
考点一 随机事件与样本空间
例1 (1)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是________.(填“必然事件”或“不可能事件”)
答案 必然事件
解析 从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为( )
A.5B.6C.7D.8
答案 D
解析 因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.
感悟提升 确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
训练1 (1)下列说法错误的是( )
A.任一事件的概率总在[0，1]内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的，在试验前不能确定
答案 D
解析 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值.
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
答案 D
解析 事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点.
考点二 事件的关系与运算
例2 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是( )
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
答案 B
解析 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；
对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；
对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；
对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A.A∩D＝B.B∩D＝
C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D
答案 BC
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，
故A∩D≠，B∩D＝，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
感悟提升 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
训练2 (1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是( )
A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件
C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1
答案 AD
解析 当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；
当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；
显然A与D是对立事件，A正确；
C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.
(2)(多选)下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
答案 AB
解析 对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，错误；
对于D，对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立，故D错误.
考点三 频率与概率
例3 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为p＝eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
训练3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20 ℃，
则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，
则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25 ℃，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，
由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【A级 基础巩固】
1.下列事件中不可能事件或必然事件的个数是( )
①2025年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④x∈R，则|x|的值不小于0.
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.
2.(2024·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是( )
A.3个都是白球B.3个都是红球
C.至少1个红球D.至多2个白球
答案 A
解析 从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生，故选A.
3.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是( )
A.A⊆B
B.A∩B＝∅
C.A∪B＝“至少一次中靶”
D.A与B互为对立事件
答案 BC
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；
A∪B＝“至少一次中靶”，C正确.
4.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝( )
A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8
答案 A
解析 ∵随机事件A和B互斥，且
P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，
∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，
∴P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A.A⊆B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，
∴A＋B表示向上的点数是1或2或3.
6.(多选) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2张卡片不全为红色
B.2张卡片中恰有一张为红色
C.2张卡片中至少有一张红色
D.2张卡片都为绿色
答案 BD
解析 C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥；
A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B，D正确.
7.(多选)(2024·太原段考)下列说法正确的是( )
A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
答案 BCD
解析 对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；
对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；
对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，
所以B包含于A，故C正确；
对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.
8.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝________.
答案 {0，2，4，6，8}
解析 最少需要取3次，最多需要取7次，
那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，
所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
9.某城市2024年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为________.
答案 eq \f(3,5)
解析 由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率P＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双.
答案 60
解析 ∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，
∴第1，2，4组的频率分别为
eq \f(6,40)＝0.15，eq \f(7,40)＝0.175，eq \f(9,40)＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，
∴第5组的频率是
1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，
∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
11.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05
＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
12.(2024·荆州调考)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解 由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6).
因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).
所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，
所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，
A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，
所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·昆明诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.08
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；
线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以B正确；
线路一所需时间小于45分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟概率为0.8，小张应选线路二，故C错误；
所需时间之和大于100分钟则线路一，线路二的时间可以为(上班线路一50，下班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二50)，(上班线路二60，下班线路一50)，(上班线路二60，下班线路一60)，(上班线路二50，下班线路一60)，共6种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.2＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.08，故D正确.
14.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦·时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率.
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，降雨量为160毫米的有7个，降雨量为200毫米的有3个.
故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦·时或超过530万千瓦·时”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率为eq \f(3,10).定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立
定义
表示法
图示
并事件
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)