安徽省蚌埠市2024-2025学年高一上学期期末学业水平监测数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省蚌埠市2024-2025学年高一上学期期末学业水平监测数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 已知，，，则， 函数， 已知函数满足， 若，，则， 已知，，则以下结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】或，则.
故选：B.
2. 下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举例说明单调性即可得判断；对于C：根据幂函数性质分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误；
对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误；
对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确；
对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误；
故选：C.
3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A. A，B为互斥事件B. B，C为对立事件
C. C，D为互斥事件D. D，E为对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论.
【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，
则样本空间为，
事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3，
事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6，
由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误；
B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6，
结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误；
C选项，事件包含基本事件有点数为1，点数为3，点数为5，
结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误；
D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6，
结合C选项，，且，
所以D，E为对立事件，D正确.
故选：D
4. 若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的图象变换求解.
【详解】因为函数是奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
又函数的图象是的图象向左平移1个单位，
向上平移2个单位得到的，
所以函数图象对称中心的是，
故选：B
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较.
【详解】因为，，，
所以，
故选：A
6. 函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
A. ①④③②B. ①④②③C. ④①②③D. ③④②①
【答案】B
【解析】
【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案.
【详解】，对应的图象为从左到右第一个，
令，得，故定义域，
且，
对应的图象为从左到右第三个，
，对应的图象为从左到右第四个，
令，解得或，故的定义域为，
，
由复合函数可知，在上单调递减，
在上单调递增，
对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③.
故选：B
7. 已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案.
【详解】不妨设，，
故，
令，则，所以在R上单调递增，
因为，所以，
，
所以，解得.
故选：C
8. 若，，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】由得，令，，得等价于或，分别解出即可.
【详解】令，，由，
等价于，或，
，有，
，，
所以；
，当时，无解，
当时，时，，
当时，，
所以，
综上或.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（ ）
A. 新数据的平均数为
B. 新数据的方差为
C. 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
D. 新数据的极差一定比原数据的极差大
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用平均数的定义判断；B.利用方差的定义判断；C. 利用中位数的定义判断；D.利用极差的定义判断.
【详解】A.新数据的平均数为，故正确；
B.新数据的方差为
，故错误；
C. 设原数据的中位数为m，则新数据的中位数为，
当时，；当时，；当时，，故错误；
D. 原数据的极差为，新数据的极差，故正确；
故选：AD
10. 已知，，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，由基本不等式得到，故；B选项，，故；C选项，直接判断即可；D选项，由基本不等式计算出答案.
【详解】A选项，，，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
，故A错误；
B选项，因为，，所以，
，B正确；
C选项，，故，C正确；
D选项，，
当且仅当，时，等号成立，D正确
故选：BCD
11. 已知函数函数，则（ ）
A.
B.
C. 若恒成立，则实数的取值范围是
D. 若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB选项，画出的图象，要想使得，只需考虑，分别求出对应的自变量取值范围，B错误，A正确；C选项，恒成立，由函数图象可知，故，解得；D选项，令，得到或，对应两个解，，对应三个解，即，，故，D正确.
【详解】AB选项，画出的图象，如下：
不妨设，则，
要想使得，只需考虑，
令，解得，
令，解得，
且，故不存在，使得，B错误，A正确；
C选项，，
恒成立，即，
恒成立，
由函数图象可知，要想恒成立，
需满足，解得，
则实数的取值范围是，C正确；
D选项，若，令，
即，故或，
显然对应两个解，，令得，
对应三个解，即，
且，，
故，
则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
故选：ACD
【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
13. 函数的单调递增区间是_____.
【答案】（或）
【解析】
【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解.
【详解】令，解得，可知函数的定义域为，
因为，
且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增，
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
14. 已知函数的值域为，且，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据的值域为，得到，且，根据得到，再由和基本不等式求解.
【详解】因为的值域为，
所以，解得，且，
又，即，
所以，
又，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意化简集合，进而求并集；
（2）分析可知集合是集合真子集，根据包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
因为
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，
则，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为
16. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的a值；
（2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少?
【答案】（1）
（2）74 （3）2，4，8.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可；
（3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解.
【小问1详解】
由题意可得，解得.
【小问2详解】
由题意可知：，
所以业主评分平均数的估计值为74.
【小问3详解】
评分低于70分的三组频率之比为，
故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为，
即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.
17. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖.
（1）请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
（2）求两种规则下获得二等奖的概率；
（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）规则二获奖的概率大，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接列举所有结果；
（2）（3）根据古典概型求解概率即可.
【小问1详解】
两次抽取小球的所有可能结果为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
【小问2详解】
记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件，
事件包含，，，，五个样本点，
故，
事件包含，，，，五个样本点，
故.
【小问3详解】
规则二获奖概率大.
理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，,
事件包含，两个样本点，.
事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点，
.
所以规则一获奖的概率
，
事件包含，两个样本点，；
事件包含，，，，，，，，，，，，十三个样本点，.
所以规则二获奖的概率
，
，∴所以规则二获奖概率大.
18. 已知定义域为的偶函数，当时.
（1）求时，的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求满足不等式的实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）函数在区间上单调递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数奇偶性及时解析式，求出；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案.
【小问1详解】
时，，
则时，，，
因为为偶函数，所以，
所以时，.
【小问2详解】
函数在区间上单调递增，证明如下：
当时，，，且，
有，
且，从而，即，
所以函数在区间上单调递增.
【小问3详解】
是偶函数，定义域为，
由，得，
由（2）知函数在区间上单调递增，
，
故，解得，
即实数的取值范围为.
19. 德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.
（1）已知函数.
①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值；
②记函数，求的零点；
（2）对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）.
【答案】（1）①偶函数，；②0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据奇偶性的定义判断即可，再根据函数解析式计算可得；②首先求出的解析式，再令，转化为关于的一元二次方程，求出的值，再代入计算可得；
（2）当时分，；，；，；三种情况讨论，分别求出，，即可得到，当，同理可证.
【小问1详解】
①函数是偶函数，
函数的定义域为，
若，则，所以；
若，则，所以；
即对任意的，都有，所以为偶函数；
因为，
所以；
②，，
则，
令，则，
令解得或（舍去），
由得，所以，即的零点为.
【小问2详解】
当时，，
若，时，，，
则，
若，时，，，则，
若，时，，，则，
当时，则，，则，
，
综上，对，.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第二问关键是分类讨论全面.