安徽省蚌埠市2024-2025学年高一上学期期末学业水平监测数学试题（解析版）

这是一份安徽省蚌埠市2024-2025学年高一上学期期末学业水平监测数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】或，则.
故选：B.
2. 下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误；
对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误；
对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确；
对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误.
故选：C.
3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件D．D，E为对立事件
【答案】D
【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，
则样本空间为，
事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3，
事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6，
由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误；
B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6，
结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误；
C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5，
结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误；
D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6，
结合C选项，，且，所以D，E为对立事件，D正确.
故选：D.
4. 若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
又函数的图象是的图象向左平移1个单位，
向上平移2个单位得到的，所以函数图象对称中心的是.
故选：B.
5. 已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以.
故选：A.
6. 函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
A．①④③②B．①④②③
C．④①②③D．③④②①
【答案】B
【解析】，对应的图象为从左到右第一个，
令，得，故定义域为，
且，对应的图象为从左到右第三个，
，对应的图象为从左到右第四个，
令，解得或，故的定义域为，
，
由复合函数可知，在上单调递减，
在上单调递增，对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③.
故选：B.
7. 已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】不妨设，，
故，
令，则，所以在R上单调递增，
因为，所以，
，
所以，解得.
故选：C.
8. 若，，则（ ）
A．0B．1C．D．1或
【答案】D
【解析】令，，
由，
等价于，或，
，有，
，，
所以；，
当时，无解，
当时，时，，
当时，，
所以，综上或.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（ ）
A．新数据的平均数为
B．新数据的方差为
C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大
D．新数据的极差一定比原数据的极差大
【答案】AD
【解析】A.新数据的平均数为，故正确；
B.新数据的方差为
，故错误；
C.设原数据的中位数为m，则新数据的中位数为，
当时，；当时，；当时，，故错误；
D.原数据的极差为，新数据的极差，故正确.
故选：AD.
10. 已知，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】A选项，，，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
，故A错误；
B选项，因为，，所以，
，B正确；
C选项，，故，C正确；
D选项，，当且仅当，时，等号成立，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数函数，则（ ）
A．
B．
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是
【答案】ACD
【解析】AB选项，画出的图象，如下：
不妨设，则，
要想使得，只需考虑，
令，解得，
令，解得，
且，故不存在，使得，B错误，A正确；
C选项，，
恒成立，即，恒成立，
由函数图象可知，要想恒成立，
需满足，解得，则实数的取值范围是，C正确；
D选项，若，令，
即，故或，
显然对应两个解，，令得，
对应三个解，即，
且，，
故，
则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算： .
【答案】
【解析】
.
13. 函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【解析】令，解得，可知函数的定义域为，
因为，
且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增，
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为（或）.
14. 已知函数的值域为，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的值域为，
所以，解得，且，
又，即，
所以，
又，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
当时，，
所以.
（2）因为是的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，
则，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的a值；
（2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少?
解：（1）由题意可得，解得.
（2）由题意可知：，
所以业主评分平均数的估计值为74.
（3）评分低于70分的三组频率之比为，
故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，
第三组抽到的人数为，
即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.
17. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖.
（1）请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
（2）求两种规则下获得二等奖的概率；
（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.
解：（1）两次抽取小球的所有可能结果为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，.
（2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件，
事件包含，，，，五个样本点，
故，
事件包含，，，，五个样本点，
故.
（3）规则二获奖概率大.理由如下：
记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，，
事件包含，两个样本点，.
事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点，.
所以规则一获奖的概率，
事件包含，两个样本点，；
事件包含，，，，，，，，，，，，十三个样本点，.
所以规则二获奖的概率，
，∴所以规则二获奖的概率大.
18. 已知定义域为的偶函数，当时.
（1）求时，的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求满足不等式的实数的取值范围.
解：（1）时，，
则时，，，
因为为偶函数，所以，
所以时，.
（2）函数在区间上单调递增，证明如下：
当时，，，且，
有，
，
且，从而，即，
所以函数在区间上单调递增.
（3）是偶函数，定义域为，
由，得，
由（2）知函数在区间上单调递增，，
故，解得，
即实数的取值范围为.
19. 德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.
（1）已知函数.
①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值；
②记函数，求的零点；
（2）对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）.
解：（1）①函数是偶函数，
函数的定义域为，
若，则，所以；
若，则，所以；
即对任意的，都有，所以为偶函数；
因为，
所以；
②，，
则，
令，则，
令解得或（舍去），
由得，所以，即的零点为.
（2）当时，，
若，时，，，
则，
若，时，，，则，
若，时，，，则，
当时，则，，则，
，
综上，对，.