安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用等比数列性质即可得出答案.
【详解】成等比数列，，
因为与-2和-4符号一样，所以，
.
故选：B.
2. 已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线a,b,c的关系即可求出双曲线的离心率.
【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点F−c,0，
其到渐近线的距离为，
因为，所以.
故选：C．
3. “”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】要使直线被圆截得的弦长为，
当且仅当圆心到直线的距离.
此即，即，即或，即或.
显然，“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ）
A. 44B. 64C. 81D. 108
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用三个数成等比数列，建立方程求得，再利用等差数列前项和公式求解即可.
【详解】解： 是公差为2的等差数列，
，，
又 ，，成等比数列，
即，解得，
，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列通项公式，等差数列前项和公式以及等比中项，是中档题.
5. 如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案.
【详解】，
故，，，.
故选：A
6. 已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（ ）
A. 0B. 2C. 2024D. 4048
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和.
【详解】当为奇数时，，，
所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；
当为偶数时，，，
所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.
所以，数列的前项和为：
.
故选：B.
7. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.
【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.
故选：C.

8. 已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意首先得到，然后求出，，，然后由勾股定理即可得出，结合离心率公式即可求解.
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点为，连接，设圆心为，
，则圆心坐标为，半径为，
由于，
故，
线段与圆（其中）相切于点，
，
，则，
.
故选：D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则B. 若，则是中最大的项
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据可推得，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；由可推出，进而判断 ，则 ，即可判断B；由可得，，，无法判断的正负，可判断C；由推出，，则，由此判断D.
【详解】由，得 ，
所以，
则 ，A正确；
因为，
所以，即，
因为，，
所以 ，则 ，等差数列为递减数列，
则则是中最大的项，B正确；
若，则，即 ，
因为，，则，故，无法判断的正负，
故，不能判断，C错误；
因，所以，
因为，，所以，则，
则，D正确，
故选：
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为120°
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线过的定点，即可判断A；
根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B;
计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错；
求出与圆相切，且在轴､轴上截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错.
【详解】可变形为 ，
令 ，得 ，
即直线过定点 ，故A错；
直线斜率为 ，故其倾斜角为 ，故B正确；
圆的圆心到直线的距离为 ，
圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确；
当直线不过原点时，设直线与圆相切，
则 ，解得，则满足题意；
当直线不过原点时，设直线与圆相切，
则 ，解得，则满足题意；
所以满足题意得直线有三条，故D错误，
故选：BC
11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为B. 的面积为1
C. 直线的方程为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得.
【详解】根据题意，作图如下：
对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确；
对B：，B错误；
对C:设Mx1,y1，Nx2,y2，
则，，两式相减得，
因为为线段的中点，所以，，所以，
即直线的斜率为，所以直线的方程为，即，
经检验符合题意，C正确；
对D：联立得，，；
所以，D错误.
故选：AC.
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据前项和与通项的关系求出数列、的通项公式，可求得、的值，即可得解.
【详解】当时，，.
当时，，
，
因为数列为等差数列，则，可得，
因为数列为等比数列，则，可得.
因此，.
故答案为：.
13. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.
【详解】由抛物线：得其标准方程为，所以，得，
所以焦点为，准线方程为，
又因为在抛物线上且，由抛物线定义可得，代入抛物线方程得，
所以.
故答案为：.
14. 若数列满足，（，），则的最小值是______.
【答案】6
【解析】
【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数.
【详解】由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知直线与垂直,且经过点.
（1）求的方程;
（2）若与圆相交于两点,求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，利用直线与圆的弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
解：由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.
（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.
【小问1详解】
由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和通项公式分别为.
【小问2详解】
设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）设的中点为，则，又，所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，如图所示，
因为，是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
解：设的中点为，则，又，所以，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
设，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，所以，
又由，
所以，
解得或（舍去），
所以点为的中点，因为，
所以.
18. 已知椭圆：的长轴长为4，短轴长与焦距相等.
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，，是否存在实数，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；离心率是
（2）存在，直线方程
【解析】
【分析】（1）由条件求出，即可求解；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点的坐标，根据，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知，，，
，且，所以，离心率，
椭圆的标准方程：，离心率是；
小问2详解】
直线与椭圆有两个不同的交点，设，，联立方程，得
，，
解得：或，
，，
中点横坐标，中点纵坐标，
设的中点为
若是以为底边的等腰三角形，则，
即，解得：或（舍）
所以存在实数，使得是以为底边的等腰三角形，直线方程是.
19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：数列的前n项和；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可；
（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；
（3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【小问1详解】
由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
【小问3详解】
若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．