安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足为虚数单位)，则为
A. 3+5iB. 3－5iC. －3+5iD. －3－5i
【答案】A
【解析】
【详解】
【考点定位】本题考查复数的基本运算之一除法，其中涉及分母实数化，这是复数运算中的常考点
2. 在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合平面向量基本定理和向量的加减法法则求解即可
【详解】因为在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，
所以
，
故选：A
3. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解.
【详解】由题意，向量，且，
则，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
4. 已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积的值，再根据投影向量的运算公式求解即可得答案.
【详解】因为，，则，
所以，则，
所以在方向上的投影向量为
.
故选：A.
5. 已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.
详解】，故，故错误；
，故错误；
，故，故，错误；
，故，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.
6. 振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，原名万佛塔，又名迎江寺塔，后取名“振风”，享有“万里长江第一塔”和“过了安庆不看塔”的盛誉．此塔挺拔秀丽，气势宏伟，共有七层，如图，为测量振风塔的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得振风塔在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得振风塔在北偏西，楼顶C的仰角为，则振风塔的高度（单位：米）为（ ）
A. 26B. 52C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可.
【详解】由题意可得：（米），
在中，可得，则（米），
在中，可得为等腰直角三角形，即（米）.
故选：B.
7. 黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶､楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式可得，由题意求出，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】由题意得，，
在中，，，
所以，又米，
由正弦定理，得，解得米，
所以米.
故选：B.
8. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得.
【详解】由题意，，则，
所以，
所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题不正确是（ ）
A. 复数不可能是纯虚数
B. 若复数，则当且仅当时，为虚数
C. 若是纯虚数，则实数
D. 若，则复数为纯虚数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可.
【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误；
对于B，当，时，，为虚数，故B错误；
对于C，当时，为实数，故C错误；
对于D，当时，，为纯虚数，故D正确.
故选：ABC.
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A. 若A >B， 则
B. ，则
C. 若，则定为直角三角形
D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断.
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，由余弦定理得，即，
而，解得，B错误；
对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；
对于D，有两解，则，而，因此，D正确.
故选：ACD
11. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A. 若，则点为的外心；
B. 若，则点为的内心；
C. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心；
D. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心．
【答案】AB
【解析】
【分析】A、B，分别假设为的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；C由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】A：若为的外心，分别为的中点，则，
而，同理，又，
故，故A正确；
B：若为的内心，如图示：，
同理，，，
所以，
，故B正确；
C：由正弦定理可设，而，
所以，D为BC的中点，则，
即动点的轨迹一定经过的重心，故C错误.
D：由，故，即，动点的轨迹一定经过的垂心，故D错误.
故选：AB
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，且，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直关系可得，再代入夹角公式运算求解.
【详解】因为，
若，则，即，可得，
则，
且，所以与的夹角为.
故答案为：.
13. 已知复数z满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由复数的几何意义，数形结合得出的最小值并求出即可.
【详解】
如图： ，
则的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于，
对应的轨迹为以为圆心，半径为的圆．
的几何意义为动点到定点的距离，
由图形可知：当点位于时，取的最小值，
由，
所以的最小值为：，
故答案为：4
14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用转化法，结合向量数量积运算、三角函数值域等知识求得正确答案．
【详解】设是的中点，连接，
由于，所以三角形和三角形是等边三角形，
则四边形是菱形，则，
，
由于，所以，
所以，
所以的取值范围是,
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.
【小问1详解】
因为向量，且，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，且，
所以，解得.
【小问3详解】
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
16. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
【答案】（1）；
（2）周长、外接圆面积分别为、.
【解析】
【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小；
（2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积
【小问1详解】
由，由正弦定理得，
从而有，，则，
由；
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以周长为，
设外接圆半径为R，由，得，
所以外接圆面积.
17. 为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
【答案】沿北偏东60°方向能最快追上.
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可.
【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，，
在△ABC中，，，，
由余弦定理，得，
，由正弦定理可得，
，则与正北方向成90°角．
在中，,由正弦定理，
得，
,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学．
18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
【答案】（1）60°；
（2）等边三角形； （3）.
【解析】
【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
【小问3详解】
因为,
由正弦定理,得
所以
因为为锐角三角形,则,
从而,
所以.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）已知为的相伴特征向量，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点
【解析】
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理运算，注意以整体代入；（2）结合题意整理可得恒成立，分类讨论结合参变分离分析运算；（3）根据题意可得，整理得，设点结合，整理运算．
【小问1详解】
向量的相伴函数为，
所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以.
所以.
【小问2详解】
向量的相伴函数为.
当时，，
即恒成立.
①当，即时，，
所以，即.
因为，所以的最小值为，
所以；
②当时，，不等式即，成立.
③当时，，
所以，
即，由于，
所以最大值为，
所以
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】
由为的相伴特征向量知：，
所以.
设.
因为，所以.
又因为，所以.
所以.
，
所以.（*）
因为，所以，
所以.
又因为，
所以当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.