安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

这是一份安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．“”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．44B．64C．81D．108
5．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知数列，，，且则数列的前项之和为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A．B．2C．D．4
8．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则B．若，则是中最大的项
C．若，则D．若，则
10．下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为120°
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为B．的面积为1
C．直线的方程为D．
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分)
12．等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为_________________ .
13．已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为____________.
14．若数列满足，（，），则的最小值是___________.
四、解答题(本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知直线与垂直,且经过点.
(1)求的方程;
(2)若与圆相交于两点,求.
16．（15分）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
18．（17分）已知椭圆：的长轴长为4，短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，，是否存在实数，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
19．（17分）已知数列的前n项和．若，且数列满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.
高二数学参考答案
12． 13． 14．6
15．(1) (2)
【详解】（1）解：由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）解：由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
16．(1)(2)
【详解】（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和的通项公式分别为.
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为.
17．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示，
因为，是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：设的中点为，则，又，所以，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
设，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，所以，
又由，所以，
解得或（舍去），所以点为的中点，因为，所以.
18．(1)；离心率是(2)存在，直线方程
【详解】（1）由条件可知，，，
，且，所以，离心率，
椭圆的标准方程：，离心率是；
（2）直线与椭圆有两个不同的交点，设，，联立方程，得 ，， 解得：或，
，，
中点横坐标，中点纵坐标，
设的中点为
若是以为底边的等腰三角形，则，
即，解得：或（舍）
所以存在实数，使得是以为底边的等腰三角形，直线方程是.
19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
A
B
A
B
C
D
ABD
BC
AC