2025-2026学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2025-2026学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，属于分式的是( )
A. a+ba−bB. 5+yπC. x23+1D. 12
3.把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是( )
A. 12abB. 4abC. 3abD. 3ab3
4.分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是( )
A. x2−y2B. x2+xy
C. (x2−y2)(x2+xy)D. x(x+y)(x−y)
5.如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是( )
A. ∠ABC=∠A′B′C′B. ∠AOC=∠A′OC′
C. AB=A′B′D. OA=OB′
6.x为任意实数时，下列分式一定有意义的是( )
A. 2x−1xB. x−1x3+1C. x+1x2−9D. x+1|x|+1
7.若x2+mx−5=(x−5)(x+n)则m+n的值为( )
A. 5B. −3C. −5D. 3
8.将分式mnm−n中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值( )
A. 不变B. 是原来的3倍C. 是原来的9倍D. 是原来的6倍
9.多项式4x2+1加上一个单项式后，就会成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①−2，②±4x，③−3x2，④4x4中的( )
A. ②B. ①③C. ②④D. ①②③④
10.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 6210x=3xB. 3(x−1)=6210
C. 3(x−1)=6210xD. 3(x−1)=6210x−1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.分解因式：a2+a−2= .
12.若关于x的方程3xx−1=m1−x+4无解，则m的取值为 .
13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，直线y=35x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，则图中阴影部分的面积为 .
15.观察下列等式a1=x,a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，…，根据其中的规律，猜想a2025= (用含x的代数式表示).
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
因式分解：
(1)3a3−12a；
(2)(a2+4)2−16a2.
17.(本小题10分)
解分式方程：
(1)2xx−2=3−12−x；
(2)xx−2−1=8x2−4.
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，将△ABD沿BC向右平移，使点D移至点C的位置，得到△EFC，且EF交AC于点G.求证：GC=GE.
19.(本小题10分)
(1)计算：(a−b)3⋅(ba)2÷(a2bc)；
(2)先化简，再求值：(1+5x−3)÷x2−4x−2，从−2，2，3，4中选择一个合适的数作为x的值求解.
20.(本小题12分)
下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程.
解：设x2+2x=y
原式=y(y+2)+1(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=(y+1)2(第三步)
=(x2+2x+1)2(第四步)
请问：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
A.提取公因式法B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______.(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−6x+8)(x2−6x+10)+1进行因式分解.
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(4,4)，B(2,3)，C(5,1).
(1)在图1中画出△ABC向左平移5个单位长度后的图形，记作△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)在图2中画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的图形，记作△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)将(2)中的△A2B2C2向下平移6个单位长度得到△A3B3C3，若△ABC直接旋转得到△A3B3C3，则旋转中心点M的坐标是______.
22.(本小题13分)
“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，如表是两个工程队的施工计划.
(1)甲工程队完成施工任务需要多少天？
(2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由.
23.(本小题13分)
在平面内，线段AB的一个端点A在直线l上，另一个端点B在直线l的上方，线段AB绕点A按顺时针方向旋转90∘至线段AC，分别过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为点D，E.
(1)如图1，当B，C两点在直线l的同侧时，求证△ABD≌△CAE；
(2)如图2，当B，C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)，猜想BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，以l所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，BD=2，点A是x轴上的动点，连接BC，CD.
①设C点坐标为(x,y)，点A在x轴上运动时，求x与y的关系式；
②当BC与CD的和最小时，求点C的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由各选项图形可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的A选项．
故选：A.
根据中心对称图形、轴对称图形的定义可得答案．
本题考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A. a+ba−b，分母为a−b，其中含有字母a和b，符合分式的定义，属于分式，符合题意；
B. 5+yπ，分母π是常数，不是字母，属于整式，不符合题意；
C.x23+1，式子中没有分母含字母的形式，属于整式，不符合题意；
D. 12式子中没有分母含字母的形式，属于整式，不符合题意．
故选：A.
根据分式的定义，逐项分析判断即可．
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是关键．
3.【答案】C
【解析】解：12ab+3ab3=3ab(4+b2)，
∴多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是3ab，
故选：C.
观察可知两个单项式的公因式为3ab，据此可得答案．
本题主要考查了分解因式-提公因式法，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
4.【答案】D
【解析】解：根据分式的最简公分母的定义可知：
分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是x(x+y)(x−y)，
故选：D.
取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
本题考查的是分式的最简公分母的确定，熟练掌握该知识点是关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA′，
故选项A，C正确，
∵∠AOC=∠A′OC′，故选项B正确．
故选：D.
利用中心对称变换的性质判断即可．
本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、当x=0时，分式2x−1x无意义，不符合题意；
B、当x=−1时，分式x−1x3+1无意义，不符合题意；
C、当x=±3时，分式x+1x2−9无意义，不符合题意；
D、|x|+1>0时，分式x+1|x|+1一定有意义，符合题意；
故选：D.
根据分式有意义的条件判断即可．
本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2+mx−5=(x−5)(x+n)，
∴x2+mx−5=x2+(n−5)x−5n，
则5n=5，m=n−5，
解得：n=1，m=−4，
则m+n=−4+1=−3，
故选：B.
将(x−5)(x+n)计算后得到关于m，n的方程，解得m，n的值后将它们相加即可．
本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，得(3m)(3n)3m−3n=9mn3(m−n)=3mnm−n，
∴将分式mnm−n中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值是原来的3倍．
故选：B.
将分式mnm−n中的m、n都扩大为原来的3倍并化简即可．
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①多项式4x2+1加上−2后，多项式为4x2+1−2=4x2−1=(2x+1)(2x−1)，是平方差不是完全平方，不符合题意；
②多项式4x2+1加上±4x后，多项式为4x2+1±4x=(2x±1)2，是完全平方，符合题意；
③多项式4x2+1加上−3x2后，多项式为4x2+1−3x2=x2+1，不是完全平方，不符合题意；
④多项式4x2+1加上4x4后，多项式为4x2+1+4x4=(2x2+1)2，是完全平方，符合题意．
故选：C.
本题根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题．
本题考查了完全平方公式，单项式，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
10.【答案】C
【解析】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为6210x，
由题意得：3(x−1)=6210x，
故选：C.
设6210元购买椽的数量为x株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为6210x，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
11.【答案】(a−1)(a+2)
【解析】解：原式=(a−1)(a+2)，
故答案为：(a−1)(a+2).
利用十字相乘法将原式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：3xx−1=m1−x+4，
去分母得：3x=−m+4(x−1)，
去括号得：3x=−m+4x−4，
移项得：3x−4x=−m−4，
合并同类项得：−x=−m−4，
解得：x=m+4，
∵当x=1时，分式方程无解，
∴m+4=1，
解得：m=−3.
故答案为：−3.
先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可．
本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．
13.【答案】40∘
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100∘，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】
解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100∘，
∴∠B=∠ADB=12×(180∘−100∘)=40∘.
故答案为40∘.
14.【答案】245
【解析】解：如图，
∵直线y=35x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(5,0)，B(0,−3)，
∵将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，
∴直线AB向左平移2个单位得到直线A′B′，且A′(3,0)，
则直线A′B′的解析式为y=35(x+2)−3=35x−95，
x=0时，y=35x−95=−95，
则M(0,−95)，
∴S阴影=S△OAB−S△OA′M=12OA⋅OB−12OA′⋅OM=12×5×3−12×3×95=245.
故答案为：245.
先求出一次函数y=35x−3与坐标轴交点A和B的坐标，再利用平移求出直线A′B′的解析式，求出其与坐标轴交点A′和M的坐标，再求面积即可．
本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．
15.【答案】−1x−1
【解析】解：由题知，
因为a1=x，
则a2=1−1x，a3=1−11−1x=−1x−1，a4=1−1−1x−1=x，…，
由此可见，这列数从a1开始按x，1−1x，−1x−1循环．
因为2025÷3=675，
所以a2025=−1x−1.
故答案为：−1x−1.
根据题意，依次表示出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能通过计算发现这列数从a1开始按x，1−1x，−1x−1循环是解题的关键．
16.【答案】3a(a+2)(a−2)；
(a+2)2(a−2)2
【解析】(1)3a3−12a
=3a(a2−4)
=3a(a+2)(a−2)；
(2)(a2+4)2−16a2
=(a2+4+4a)(a2+4−4a)
=(a+2)2(a−2)2.
(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】x=5；
无解
【解析】(1)2xx−2=3−12−x，
方程两边同时乘(x−2)，得2x=3(x−2)+1，
去括号，得2x=3x−6+1，
解得：x=5，
检验：把x=5代入x−2≠0，
∴分式方程的解为x=5；
(2)xx−2−1=8x2−4，
方程两边同时乘(x+2)(x−2)，得x(x+2)−(x+2)(x−2)=8，
去括号，得x2+2x−x2+4=8，
解得：x=2，
检验：把x=2代入(x+2)(x−2)=0，
∴x=2是分式方程的增根，
∴分式方程无解．
(1)把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可；
(2)把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：由平移变换的性质可知∠BAD=∠E，AD//EC，
∴∠CAD=∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠ACE，
∴GC=GE.
【解析】证明：由平移变换的性质可知∠BAD=∠E，AD//EC，
∴∠CAD=∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠ACE，
∴GC=GE.
先证出∠E=∠ACE.利用等角对等边以及平移的性质证明．
本题考查等腰三角形的判定，平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质．
19.【答案】−cab2；
1x−3，1
【解析】(1)(a−b)3⋅(ba)2÷(a2bc)
=a3(−b)3⋅b2a2⋅ca2b
=−cab2；
(2)(1+5x−3)÷x2−4x−2
=x−3+5x−3⋅x−2(x+2)(x−2)
=x+2x−3⋅1x+2
=1x−3，
∵x−3≠0，x+2≠0，x−2≠0，
∴x≠3，−2，2，
∴当x=4时，原式=14−3=1.
(1)先算乘方，再算乘除即可；
(2)先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】C；
不彻底；(x+1)4；
(x−3)4
【解析】(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
(2)分解结果不彻底，
(x2−6x+8)(x2−6x+10)+1
=(x2+2x+1)2
=[(x+1)2]2
=(x+1)4；
故答案为：不彻底，(x+1)4；
(3)设y=x2−6x，
原式=(y+8)(y+10)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2−6x+9)2=(x−3)4.
(1)根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可；
(2)根据完全平方公式法继续进行因式分解即可；
(3)仿照题干方法，进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解是解题的关键．
21.【答案】，点A1的坐标为(−1,4).
，点B2的坐标为(−3,2).
(3,−3)
【解析】(1)如图1，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点A1的坐标为(−1,4).
(2)如图2，△A2B2C2即为所求．
由图可得，点B2的坐标为(−3,2).
(3)连接BB3，CC3，分别作线段BB3，CC3的垂直平分线，相交于点M，
∴旋转中心点M的坐标是(3,−3).
故答案为：(3,−3).
(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(3)连接BB3，CC3，分别作线段BB3，CC3的垂直平分线，相交于点M，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
22.【答案】14天；
乙工程队应采取B方案，理由如下：
由题意可知，乙工程队A方案完成施工任务所需的时间为：t1=18m+18n=18(m+n)mn，
乙工程队B方案完成施工任务所需的时间为t2=3612(m+n)=72m+n，
∴t1−t2=18(m+n)mn−72m+n=18(m−n)2mn(m+n)，
∵m≠n，
∴mn(m+n)>0，(m−n)2>0，
∴18(m−n)2mn(m+n)>0，
∴t1>t2，
∴乙工程队应采取B方案
【解析】(1)由题意得：36−12x−36−121.5x=4，
解得：x=2，
经检验，x=2是方程的解，且符合题意，
∴12x+36−121.5x=122+243=14(天)，
答：甲工程队完成施工任务需要14天；
(2)乙工程队应采取B方案，理由如下：
由题意可知，乙工程队A方案完成施工任务所需的时间为：t1=18m+18n=18(m+n)mn，
乙工程队B方案完成施工任务所需的时间为t2=3612(m+n)=72m+n，
∴t1−t2=18(m+n)mn−72m+n=18(m−n)2mn(m+n)，
∵m≠n，
∴mn(m+n)>0，(m−n)2>0，
∴18(m−n)2mn(m+n)>0，
∴t1>t2，
∴乙工程队应采取B方案．
(1)根据完成12千米后，剩余任务的施工速度变为原计划施工速度的1.5倍，这样比原计划提前了4天完成任务，列出分式方程，解方程即可；
(2)求出t1=18(m+n)mn，t2=3612(m+n)=72m+n，再作差得到t1−t2>0，即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的实际应用、列代数式以及分式的运算等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：∵BD⊥l，AB⊥AC，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=∠BAC=90∘，∠BAD=90∘−∠CAE=∠ACE，
根据旋转的性质，AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
)解：猜想：BD=CE+DE.
从图中可以看出∠BAD=90∘−∠CAE=∠ACE，
同理 可得△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AD+DE=CE+DE.
①y=x−2；②(43,−23)
【解析】(1)证明：∵BD⊥l，AB⊥AC，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=∠BAC=90∘，∠BAD=90∘−∠CAE=∠ACE，
根据旋转的性质，AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)解：猜想：BD=CE+DE.
从图中可以看出∠BAD=90∘−∠CAE=∠ACE，
同理(1)可得△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AD+DE=CE+DE.
(3)①由(2)可知AD=CE，BD=AE=2，
∴x=DE=xE−xD=BD+y=2+y.
∴y=x−2.
②如图，BD=DG，延长BG使B′G=BG，连接B′D交直线CG于点P.
当点A运动到点D时，则点C与点G重合．
∵△ABC和△BDG都是等腰直角三角形，
∴∠AGB=∠ACB=45∘，
∴A、B、G、C四点圆，
∴∠AGC=∠ABC=45∘，∠BGC=90∘.
∴CG是线段BB′的垂直平分线，
∴BP=B′P.
∵DC+BC=DC+B′C≥B′D，
∴点P就是DC和BC之和最小时点C所在位置．
∵xG=xB+xB′2，yG=yB+yB′2，点B(0,2)，点G(2,0)，
∴点B′坐标为(4,−2).
设直线B′D解析式为y=kx，则k=−24=−12，所以y=−12x.
由①可知点C在直线y=x−2上，联立两直线解析式求解可得点P的坐标为(43,−23).
(1)通过一线三等角模型即可证明△ABD≌△CAE.
(2)根据△ABD≌△CAE得出AD=CE和BD=AE，故由BD=AD+DE便可得出BD，CE，DE三条线段之间的数量关系．
(3)①根据(2)中的结论可得x=DE=xE−xD=BD+y，代入BD的长度求解即可；②先确定点C的运动轨迹，然后应用将军饮马模型，联立直线B′D和CG的解析式求解点C的坐标．
本题考查了“一线三等角”、“将军饮马”等模型，涉及到图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，熟练掌握经典模型的应用是解答本题的关键．甲工程队
原计划施工速度为x千米/天，完成12千米后，剩余任务的施工速度变为原计划施工速度的1.5倍，这样比原计划提前了4天完成任务.
乙工程队
A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t1天；
B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米.特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且m≠n.