重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试卷含解析 (2)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试卷含解析 (2)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下列关系中，正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】理解数集符号，根据元素和集合的关系逐一判断即可.
【详解】对于选项 A, 表示正整数集, -2 不是正整数, 所以 A 错误;
对于 B, 表示整数集, 不是整数, 所以 B 错误;
对于 C， 表示有理数集, 不是有理数, 所以 C 正确;
对于 D, 表示自然数集， 5 是一个元素，不是集合，所以 D 错误.
故选：C
2. 如果 ，那么（ ）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合与元素的关系，以及空集的定义即可求解.
【详解】0 是一个元素，且 ，因此 ，故 B 正确，A 错误，
， ，故 D 正确，C 错误，
故选：BD
3. 若全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别化简求解集合 U,A，再求补集即可
第 1页/共 17页
【详解】因为 ， ，所以 .
故选 C
【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.
4. 已知 x∈R，则“ 成立”是“ 成立”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】先证充分性，由 求出 x 的取值范围，再根据 x 的取值范围化简
即可，再证必要性，若 ，即 ，再根据绝对值的性质可
知 ．
【详解】充分性：若 ，则 2≤x≤3，
，
必要性：若 ，又 ，
，
由绝对值的性质：若 ab≤0，则 ，
∴ ，
所以“ 成立”是“ 成立”的充要条件，
故选：C．
二、多选题
5. 已知 ∈R，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
第 2页/共 17页
【分析】对于 ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于 D 项，使用作差法比大小.
【详解】对于 A：因为 ，所以 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，所以 ，两边同乘以 得 ，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，两式相乘得
，故 C 错误；
对于 D： ,
因为 ，所以 ,所以 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD
6. 已知 ，下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 的最小值为
B. 若 ，则 的最小值为
C. 若 ，则 的最小值为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】用基本不等式求最值后判断各选项：选项 A，利用 .选项 B，利用
.选项 C，没有定值，先利用不等式进行放缩，然后解不等式得最值.选项 D，根据
定值的要求把两项都与相应常数求代数和，然后凑出积为定值，再求得最值．
【详解】由已知 ，
选项 A， ，
第 3页/共 17页
当且仅当 时等号成立，A 错，
选项 B， ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，B 正确；
选项 C，由 得 ，
当且仅当 时等号成立，又 ，故解得 ，C 正确；
选项 D，
，
当且仅当 即 时等号成立，D 正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：用基本不等式求最值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等，即在
中，首先两项 均为正，其次需有定值才能有最值，即和定积最大，积定和最小，第三，要
取得等号成立（即最值取得到），需要 能成立，否则也不能得出最值．一正常常在已知条件中就能满
足或者简单变形一下即可满足，难点是二定，这个定值有时需要凑配，本题中选项 ABD 均凑配出了定值，“1”
的代换是凑配定值常用方法．
7. 已 知 函 数 ， 若 非 空 集 合 ，
，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的取值与 有关 B. 为定值
C. D.
【答案】BD
第 4页/共 17页
【解析】
【分析】令 ，从而化 为 ，不妨设 的解集为 ，可得
，由 ，从而得 ，且 ，化简
，解得 或 ，又 是方程 的两个根，利用韦达定理
可得 ，则
，进而求得 的取值范围.
【详解】令 ，
则 可化为 ，
不妨设 的解集为 ，
即 ，
，即 ，
故 ，
又 ，且 ，
，且 ，
，且 ，
故 ，
解得 ，
故选项 A 错误，选项 B 正确；
，
，
有解，
，即 或 ，
是方程 的两个根，
第 5页/共 17页
即 是方程 的两个根，
故 ，即 ，
解得： ，
，
故选项 C 错误，选项 D 正确.
故答案选：BD.
【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.
三、填空题
8. 已知 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先求出 ，再求 即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
9. 设 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数的性质得 ，代入当 时的解析式求出 的值，即可得解.
【详解】 当 时， ， ，
第 6页/共 17页
是 上的奇函数，
故答案为：
10. 已 知 函 数 ． 若 不 等 式 成 立 ， 则 在
的条件下， 可以取的值为______________________．
【答案】 ， ， ，
【解析】
【分析】先根据 判断出定义域内 ，排除 为奇函数的情况，再结合图象特点、特殊值等方法
逐一验证 为偶函数的情况即可得到结果.
【详解】∵ ，∴ ．
要使 ， 在 上应大于 0，
∴当 为奇函数，即当 时显然不成立．
下面验证 为偶函数的情况：
当 时， ，符合题意．
当 时， ，不符合题意，舍去．
当 时， ，符合题意．
当 时， ， ，而 ，∴ ，符合题意．
当 时， ， ，而 ，∴ ，符合题意．
综上， 的可能取值有四个，分别为 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
四、解答题
11. （Ⅰ） ；
第 7页/共 17页
（Ⅱ）解关于 的不等式： .
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用指数幂的运算性质，即可得出结果.
（Ⅱ）将分式不等式化简转化为 ，分类讨论 ，解一元二次不等式即可
得出结果.
【详解】解：（Ⅰ）原式
.
（Ⅱ） ，则 ，
即 ，即 ，
①当 ，即 时，不等式为 ，解集为 ；
②当 ，即 时，原不等式与 同解，
当 ，即 时，与 矛盾，故此情况不存在；
当 ，即 或 时，即 时，不等式的解集为 ；
③当 ，即 时，原不等式与 同解，
当 ，即 时，不等式的解集为 ；
当 ，即 时，不等式无解，即解集为 ；
当 ，即 或 时，即 时，不等式的解集为 ；
第 8页/共 17页
所以，综上所述：
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 .
【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质进行化简求值，考查含参数的分式不等式的解法和一元二次不等
式的解法，考查分类讨论思想和计算能力.
12. 已知函数 ， .
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若存在两不相等的实数 ，使 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 为奇函数；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函数 的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；
（2）易知 是定义域内的减函数，由 ，可知 且 ，进而可
将原问题转化为不等式 在 有解，求 取值范围，由
，令 ，可得 在
上有解，进而分离参数得 在 有解，求出 的取值范围，进而可得到
的取值范围.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
第 9页/共 17页
又 ，
∴ ，
故 为定义域内的奇函数.
（2）∵函数 都是 上的减函数，
∴ 是定义域内的减函数，
∵ ，且 为定义在 的奇函数，
∴ 且 ，
∴原问题等价于不等式 在 有解，求 取值范围.
而 ，
令 ， ，则 ，
令 ，可知 ，则 ，
构造函数 ， ，
根据对数函数的单调性，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 上有解，
注意到当 时， ，因此 在 有解.
取 ，则 ， ，从而 .
因此 在 上有解.
根据对勾函数的性质，可知函数 在 上单调递增，
第 10页/共 17页
所以 ，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
13. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索
桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与 e 有关的著名函数——双曲函数，最基
本的双曲函数是双曲正弦函数 与双曲余弦函数 ．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性
质：
①定义域均为 R，且 在 R 上是增函数；
② 为奇函数， 为偶函数；
③ （常数 e 是自然对数的底数， …）．
利用上述性质，解决以下问题：
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 x 的不等式 在 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3）已知函数 在 上的最大值为 ，
求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用双曲函数满足的等式和奇偶性构造方程组，求解即得；
第 11页/共 17页
（2）利用（1）的结论和题设范围将不等式转化为 ，继而把不等式恒成立转化为求函数
的最小值，接着利用基本不等式即可求得最值；
（3）通过令 ，将函数 化成 ，从
而把双曲函数问题转化成二次函数在给定区间上的最值问题，经过分析计算，利用绝对值不等式性质即可
求得其最小值.
【小问 1 详解】
因为函数 分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数，且满足 ①，
所以 ，即 ②，
联立①，②，解得
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，
即 在 上恒成立，等价于使
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故 ，即实数 m 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
函数
设 ，由性质① 在 R 上是增函数，
第 12页/共 17页
可知当 时， ，
由 ，可得
于是原函数可化为： ，
设 为二次函数，
由题意
所以， ，当且仅当 时
取等号，
所以 的最小值为 ．
【点睛】关键点点睛：在（3）题中通过 换元，得到 后，需要结合函
数的最大值为 这一条件，判断得到 ，
从而通过拼凑消元，利用绝对值不等式性质可得到
.
14. 已知 ，函数 为奇函数， 为常数．
（1）求 的值；
（2）若对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可求出 a 的值，验证后即可确定答案；
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求
得答案.
【小问 1 详解】
由于 ，函数 为奇函数，
第 13页/共 17页
故 ，即 ，
则 ，即 ，
则 ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，令 ，则 或 ，
即函数定义域为 ，
，即函数为奇函数，符合题意，
故 ；
【小问 2 详解】
对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，
即对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，
令 ，则 上单调递减，
而 在 上单调递减，故 在 上单调递增，
在 上单调递增，故 在 上单调递增，
则 的最小值为 ，
故 .
15. 已知函数 是偶函数，且 ， ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）设 ，求函数 的最小值 ；
第 14页/共 17页
（3）设 ，对于（2）中的 ，是否存在实数 ，使得方程 在 时有且
只有一个解？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求 的解析式，再利用单调性求最值，进而得到 的值域；
（2）令 ，构造函数 ，进而讨论单调性得 的最
小值 ；
（3）根据题意将方程 化简到 ，即在 时有且只有一个解等
价转化为两个函数 有且只有一个交点，由两个函数的最值关系
列出不等式组求实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为函数 是偶函数，故 ．
而 ，可得 ，则 ，
故 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，
第 15页/共 17页
故 的值域为 ．
【小问 2 详解】
，
令 ，故 ，
则 ，对称轴为 .
①当 时， 在 上单调递增，故 ；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ；
③当 时， 在 上单减，故 ；
故函数 的最小值 .
【小问 3 详解】
由（2）知当 时， .
则 ，即 ，
令
问题等价于两个函数 与 的图象在 上有且只有一个交点，
第 16页/共 17页
由 ，函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，
可图知 ,
故 .
【点睛】当函数有零点的时候善于转化两个函数图象的交点问题，分别求出函数的最值，再结合图象列不
等式求解即可.
第 17页/共 17页