重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (2)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (2)，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试范围：第一章，第二章；考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个备选选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求解集合的交集即可.
【详解】由题可得 ，故 A 正确.
故选：A.
2. 已知命题 ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】 为 ， .
故选：C.
3. 已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】A
【解析】
【分析】先求集合 ，由 得 ，进而求 的范围，即可求解.
【详解】由 ，所以 ，
又由 有 ，所以 ，
所以 ， ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 含有三个实数的集合表示为 ，也可表示为 ，则 的值为（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出 的值，再计算 即可.
【详解】由 ，
则 ，且 ，即 ，
此时 ，结合集合中的元素互异可得 ，即 ，
此时集合为 ，也可表示为 ，满足题意，
所以 .
故选：B
5. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如
果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A. 甲先到教室 B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定
【答案】B
【解析】
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【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，
作差比较.
【详解】解：设步行速度与跑步速度分别为 ， ，
则 ，总路程为 ，
则甲用时间为 ，乙用时间为 ，
则 .
所以 ，故乙先到教室.
故选：B.
6. 如果关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得关于 的不等式 对一切实数 恒成立，再对 分 两种情况
讨论得解.
【详解】由题得关于 的不等式 对一切实数 恒成立，
当 时， 恒成立，所以 时满足已知；
当 时，由题得 且 ，
解之得 .
综上所述， .
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7. 已知不等式 的解集为 ,则下列结论错误的是（ ）
A.
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B.
C.
D. 的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出 ,且 ,代入消元即可.
【详解】根据题意,可以知道, 的两根为 .
由根与系数的关系得到： .
因为 开口向下,则 ,故 A 正确. ,故 B 正
确.
且 ,对称轴为 , ,故 C 正确.
,两边同时除以 ,
得到 ,解得 ,故 D 错误.
故选:D.
8. 在数学中，对于满足一定条件 连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不
动点”函数，实数 为该函数的不动点．例如：函数 的不动点，即求解方程 的实数解 ，
即 0 和 1 为函数 的不动点．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不
动点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据“不动点”的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，对 的取值进行讨论，结合二次函
数零点的分布，列不等式，求解即可.
【详解】根据题意，可得 在 上恰有两个解，
即函数 在区间 上恰有两个零点，
当 时，则有 ，解得 ，不满足题意；
当 时，则有 ，即 ，解得 ；
当 时，则有 ，即 ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：C
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对得 6 分，选到错误答案得 0 分，
部分选对得部分分）
9. 已知全集 ，集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 集合 中有 6 个元素
B.
C.
D. 的真子集个数是 3
【答案】BCD
【解析】
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【分析】计算出集合 后，结合集合性质逐个选项计算即可得.
详解】由 ，且 ，故 ，
故集合 中有 5 个元素，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，真子集个数是 个，D 正确.
故选：BCD.
10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若
，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 且 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】结合特例法和不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对 A， 时不满足，故 A 项错误；
对 B， ， ，即 ，故 B 项正确；
对 C，若 ， ，则 ，故 C 项正确；
对 D，若 且 ，则 ，当 时，不满足 ，故 D 项错误.
故选：BC
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为 1
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C. 若 ，则 的最小值为 8
D. 若 恒成立，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，利用基本不等式得 ，再解不等式即可；对 B，根据基本不等式，易
知等号不成立；对 C，由 代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对 D，由
，即可得解.
【详解】对于 A， ， ，当且仅当 时取等号，
，解得 ，即 ，故 A 正确；
对于 B， ，
当且仅当 ，即 时取等号，显然 的值不存在，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 C 正确；
对于 D， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 恒成立，
所以 ，即 的最小值为 ，故 D 正确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 使函数 有意义的实数 取值的集合为___________．
【答案】 且
【解析】
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【分析】根据根号下的数为非负数以及分母不为零即可.
【详解】 且 得， 且 ，
故函数 有意义的实数 取值的集合为 且 .
故答案为： 且
13. 已知命题“ ∈[1，2]， ”是真命题，则实数 a 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 2a＜x0 在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求 a
的范围．
【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，
即有 2a＜x0 在[1，2]的最大值，
由 x0 在[1，2]递增，可得 x0＝2 取得最大值 ，
则 2a ，可得 a ，
则实数 a 的取值范围为（﹣∞， ）．
故答案为（﹣∞， ）．
【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算
能力，属于中档题．
14. 已知 ， ，且 ，则 的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出 ，令 ，可得出 ，再由
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基本不等式得出 ，整理得出 ，综合可解得 的取值范围.
【详解】因为 ， ，则 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以， ，解得 或 ，
又因为 ，则有 或 ，
若 ，则必有 ， ，
所以， ，矛盾，故 应舍去，
所以， ，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，
故 ，即 ，
所以， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于设 ，根据已知等式变形，结合基本不等式得出关于 的
不等式求解.
四、解答题（本题共 5 小题，其中 15 题 13 分，16 题、17 题 15 分，18 题、19 题 17 分，共
计 77 分）
15. 求下列不等式的解集．
（1） ；
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（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的性质求解即可；
（2）利用一元二次不等式的性质求解即可；
（3）利用分式不等式的性质求解即可.
【小问 1 详解】
不等式 ，其对应的一元二次方程为 ，
因式分解得 ，解得 或 ，
二次函数 为开口向上的二次函数，且与 轴交于 和 ，
所以不等式 的解集为 ；
【小问 2 详解】
不等式 ，其对应的一元二次方程为 ，
在方程 中，得 ，
所以方程 无实根，
二次函数 为开口向下的二次函数，且与 轴无交点，
所以函数 的值恒小于 ，
即不等式 的解集为 ；
【小问 3 详解】
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将不等式 移项，得 ，通分后化简，可得 ，即 ，
等价于 且 ，
一元二次方程 的解为 或 ，
二次函数 为开口向上的二次函数，且与 轴交于 和 ，
所以不等式 的解集为 ，
又 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
16. 已知集合 ．
（1）当 时，求： ; ；
（2）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问
题：当集合 满足___________时，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ； 或 ；
（2）①②③任一条件，
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ，再根据集合的交集、并集、补集的概念求解；
（2）根据 ，分 为空集和不为空集两种情况讨论.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ， 或 ，
则 或 ；
【小问 2 详解】
由 、 、 均可得出 ，
若 ，即 ，集合 为空集，符合 ；
若 不为空集，由 ，得 ， ， ，得 ，
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综上，由①②③任一条件均可得出实数 的取值范围为 .
17. 解答下列各题.
（1）若 ，求 的最小值.
（2）若正数 满足 ，
①求 的最小值.
②求 的最小值.
【答案】（1）7； （2）①36；② .
【解析】
【分析】（1）将 变形为 ，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合 可得答案；②由 可得 ，后由基本不等式可得答
案.
【小问 1 详解】
由题
当且仅当 ，即 时取等号；
【小问 2 详解】
①由 结合基本不等式可得：
，又 为正数，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号；
②由 可得 ，
则 .
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当且仅当 ，又 ，
即 时取等号.
18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业
园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为 3 米，宽度为 （单位：米），地面面积为 56 平
方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案.
方案一：储物室的墙面报价为每平方米 200 元，屋顶和地面报价共计 9600 元，总计报价记为 ；
方案二：其给出的整体报价为 元 .
（1）当宽度为 8 米时，方案二的报价为 29700 元，求实数 的值；
（2）求 的函数解析式，并求报价的最小值 ；
（3）若对任意的 时，方案二都比方案一省钱，求实数 的取值范围.
【答案】（1）22 （2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数 ，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【小问 1 详解】
宽度为 8 米时，方案二的报价为 29700 元，
则 ，解得 ，
所以 的值为 22.
【小问 2 详解】
由题意可知底面长 ，墙面面积为 ，
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所以 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立
所以报价的最小值约为 .
【小问 3 详解】
对任意的 时，方案二都比方案一省钱，
即 时， 恒成立，
参变分离可得 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
19. 已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集是 ，
①求 的值，
②是否存在实数 ，对任意 时，有 成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，
请说明理由．
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）① ；②存在， 的取值范围为
（2）答案见解析
【解析】
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【分析】（1）①由题意得 为方程 的根，且 ，进而结合韦达定理求解即可；
②转化题目为 对任意 成立，结合一次函数的性质求解即可；
（2）转化问题为解不等式 ，根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【小问 1 详解】
①由题意， 为方程 的根，且 ，
则 ，解得 ；
②存在实数 ，对任意 时，有 成立，
由①知， ，
由 ，则 ，
即 对任意 成立，
则 ，解得 ，
则 取值范围为 .
【小问 2 详解】
由 ，则 ，
即 ，
当 时，不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 时，不等式为 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ，不等式的解集为 ；
第 15页/共 16页
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式 解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .