2025九年级数学上册第22章相似形综合素质评价试卷（附解析沪科版）

这是一份2025九年级数学上册第22章相似形综合素质评价试卷（附解析沪科版），共19页。
第22章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．[2025·上海松江期中]下列图形一定是相似图形的是(　　)A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形C．两个正方形 D．两个菱形2. 若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是(　　)A.eq \f(y,x)＝eq \f(5,2) B.eq \f(y,x)＝eq \f(2,5) C.eq \f(x＋y,x)＝eq \f(7,5) D.eq \f(x－y,y)＝eq \f(3,2)3．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割(黄金比例为eq \f(\r(5)－1,2))，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么BP的长度是(　　)A．(15－5eq \r(5))cm B．(5eq \r(5)＋5)cm C．(15＋5eq \r(5))cm D．(5eq \r(5)－eq \r(5))cm4. 如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝eq \f(1,2)DF，则eq \f(BC,CE)的值为(　　)A．1 B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)5．如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿选项中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)6．如图，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点连线交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝5∶3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　)A.eq \f(C1,C2)＝eq \f(5,3) B.eq \f(S1,S2)＝eq \f(5,3) C.eq \f(OB,CD)＝eq \f(5,3) D.eq \f(OA,OD)＝eq \f(5,3)8．图①是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间，小明画出这种纸杯的截面图如图②所示，其中点O为杯底顶点，AB，CD分别表示杯口、水面，OA＝OB，CD∥AB.若杯中水的高度是杯子高度的80%，则水的体积与杯子容积的比最接近于(　　)A．80% B．70% C．64% D．50%9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为(　　)A.eq \f(16,9) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,4)或eq \f(16,9) D.eq \f(3,2)或eq \f(16,9)10．如图，点D在等腰直角△ABC的腰AB上运动，以CD为腰，点D为直角顶点作等腰直角△CDE，DE与AC交于点F，连接AE，当△CDF与△AEF的面积比为2∶1时，eq \f(BD,AB)的值是　　(　　)A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11. 钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1∶100 000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米．12．如图，已知三个边长均为1的正方形拼成一个矩形ABCD，则∠AFE＋∠ACE＝________．13. 已知eq \f(y＋z,x)＝eq \f(z＋x,y)＝eq \f(x＋y,z)(xyz≠0)，则eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)的值为________．14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题：(1)当BD＝2时，CE＝________；(2)设P为线段DE的中点，在点D运动的过程中，CP的最小值是________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足eq \f(a＋1,3)＝eq \f(b－4,4)＝eq \f(c＋3,8)，a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由．16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17. 西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计)18. 如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)．(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；(2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________；(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．20. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD).下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的全部过程；(2)如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________． 六、(本题满分12分)21．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求DN的长．七、(本题满分12分)22. 某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m.(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程．(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2.八、(本题满分14分)23．[2024·武汉]【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；【问题拓展】如图③，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出eq \f(EG,GF)的值．答案一、1.C　2.A　3.A　4.B　5.C　6.C　7.A　8．D　【点拨】设杯子的高度为h，则杯中水的高度为eq \f(4,5)h.∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(\f(4,5)h,h)＝eq \f(4,5).∴CD＝eq \f(4,5)AB.∴V水＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))eq \s\up12(2)·eq \f(4,5)h＝eq \f(1,3)π·eq \f(4,25)AB2·eq \f(4,5)h，V杯＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))eq \s\up12(2)·h＝eq \f(1,3)π·eq \f(1,4)AB2·h.∴eq \f(V水,V杯)＝eq \f(\f(1,3)π·\f(4,25)AB2·\f(4,5)h,\f(1,3)π·\f(1,4)AB2·h)＝eq \f(64,125)＝0.512≈50%.故选D.9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE.当△CDE∽△CBA时，eq \f(CE,CA)＝eq \f(DE,BA)，∴eq \f(CE,3)＝eq \f(4－CE,5)，解得CE＝eq \f(3,2)；当△CDE∽△CAB时，eq \f(CE,CB)＝eq \f(DE,AB)，∴eq \f(CE,4)＝eq \f(4－CE,5)，解得CE＝eq \f(16,9).综上所得，CE的长为eq \f(3,2)或eq \f(16,9).10．D　【点拨】∵△ABC，△CDE是等腰直角三角形，∴∠B＝∠CDE＝90°，∠BCA＝∠DCE＝45°，易得eq \f(BC,AC)＝eq \f(DC,EC)＝eq \f(\r(2),2).∴∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD∽△ACE.∴∠CAE＝∠B＝90°.∴∠FAE＝∠CDF.∵∠AFE＝∠DFC，∴△AEF∽△DCF.∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,DC)))eq \s\up12(2)＝eq \f(S△AEF,S△DCF)＝eq \f(1,2).∴CD＝eq \r(2)AE.∴CE＝eq \r(2)CD＝eq \r(2)×eq \r(2)AE＝2AE.∴在Rt△ACE中，AC＝eq \r(CE2－AE2)＝eq \r(3)AE.∵△BCD∽△ACE，∴eq \f(BD,BC)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(AE,\r(3)AE)＝eq \f(\r(3),3).∵在等腰直角△ABC中，BC＝AB，∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(\r(3),3).故选D.二、11.3.6　12.45°13．3或0　【点拨】设eq \f(y＋z,x)＝eq \f(z＋x,y)＝eq \f(x＋y,z)＝k.∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk.∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk.∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．分两种情况：当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y.∴eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)＝eq \f(2y＋y,2y－y)＝3；当x＋y＋z＝0时，eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)＝0.综上所述，eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)的值为3或0.14．(1)eq \f(8,3)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE).∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE).∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∴△BAD∽△CAE.∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(9,12).又∵BD＝2，∴CE＝eq \f(8,3).(2)∵△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°.∴∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠DCE＝90°.∵P为线段DE的中点，∴CP＝eq \f(1,2)DE.∵△ABC∽△ADE，∴当AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小．∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°，∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(92＋122)＝15.根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝eq \f(9×12,15)＝eq \f(36,5).易知eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)，∴DE＝12.∴CP的最小值为eq \f(1,2)×12＝6.三、15.【解】△ABC 是直角三角形，理由：设eq \f(a＋1,3)＝eq \f(b－4,4)＝eq \f(c＋3,8)＝k，则 a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3.∵ a＋b＋c＝30，∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30.∴ k＝2. ∴a＝5，b＝12，c＝13.∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.∴eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).∴eq \f(6,9)＝eq \f(10－OC,OC)，解得OC＝6.∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形．∴OC2＋OD2＝CD2.∴CD＝eq \r(62＋92)＝3eq \r(13).四、17.【解】由题意得∠EBA＝∠DBC.∵EA⊥AC，DC⊥AC，∴∠EAB＝∠DCB＝90°.∴△DCB∽△EAB.∴eq \f(AE,CD)＝eq \f(AB,CB).∴eq \f(1.5,CD)＝eq \f(2,86).∴CD＝64.5米．∴大雁塔的高度CD为64.5米．18．【解】∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠EAC.∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC.∴∠DAE＝∠DEA.∴ED＝AD.∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA.∴eq \f(BE,BC)＝eq \f(ED,CA).∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，∴eq \f(2,2＋3)＝eq \f(ED,4).∴ED＝eq \f(8,5).∴AD＝eq \f(8,5).五、19.【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)(2x，2y)(3)如图，点G，H 将线段AB三等分．20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.∵CE∥AD，∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(BA,EA)，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠ACE＝∠E.∴AE＝AC.∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD).(2)eq \f(9＋3\r(5),2)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5.∵AD平分∠BAC，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BD)，即eq \f(5,3)＝eq \f(4－BD,BD).∴BD＝eq \f(3,2).∴AD＝eq \r(BD2＋AB2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).∴△ABD的周长＝eq \f(3,2)＋3＋eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(9＋3\r(5),2).六、 21.(1)【证明】∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD.∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(AD,BD).∴BD2＝AD·CD.(2)【解】∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠CDB.又∵∠MDB＝∠CDB，∴∠MBD＝∠MDB.∴MB＝MD.∵∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°，∠ABM＋∠MBD＝90°.∴∠A＝∠ABM.∴MA＝MB.∴MB＝eq \f(1,2)AD＝4.∵BD2＝AD·CD，CD＝6，AD＝8，∴BD2＝8×6＝48.∴BD＝4eq \r(3).∵BM∥CD，∴eq \f(MB,CD)＝eq \f(BN,DN)＝eq \f(BD－DN,DN).∴eq \f(BD－DN,DN)＝eq \f(2,3).∴eq \f(4\r(3)－DN,DN)＝eq \f(2,3).∴DN＝eq \f(12\r(3),5).七、 22.【解】(1)∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥BC.∴△APN∽△ABC.∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线．∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).设正方形零件的边长为t m.∵BC＝12 m，AD＝8 m，∴AE＝(8－t)m.∴eq \f(t,12)＝eq \f(8－t,8)，解得t＝4.8.∴加工成的正方形零件的边长为4.8 m.(2)设PN＝x m，矩形PQMN的面积为S m2.由已知可得△APN∽△ABC，∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).易知DE＝PQ，∴eq \f(x,12)＝eq \f(8－PQ,8)，解得PQ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(2,3)x))m，则S＝PN·PQ＝x(8－eq \f(2,3)x)＝－eq \f(2,3)x2＋8x＝－eq \f(2,3)(x－6)2＋24.∵－eq \f(2,3)