2025九年级数学上册第23章解直角三角形综合素质评价试卷（附解析沪科版）

这是一份2025九年级数学上册第23章解直角三角形综合素质评价试卷（附解析沪科版），共17页。
第23章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．已知实数a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，则下列说法正确的是(　　)A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b2. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sin A的值为(　　)A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,5)3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝eq \f(4,5)，则BC的长是(　　)A．3 B．6 C．8 D．94．[2024·长春]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　)A．asin θ千米 B.eq \f(a,sin θ)千米 C．acos θ千米 D.eq \f(a,cos θ)千米5. 若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sin α－eq \f(\r(3),2)|＋(eq \r(3)－tan β)2＝0，则此三角形的形状是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．[2024·资阳]第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图①所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图②所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH＝1∶3，则sin∠ABE＝(　　)A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)7．[2024·眉山]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(7),3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,4)8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,2＋\r(3))＝eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq \r(3).类比这种方法，则tan 22.5°的值为(　　)A.eq \r(2)＋1 B.eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \f(1,2)9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足的关系式为(　　)A．x－y2＝3 B．2x－y2＝6 C．3x－y2＝9 D．4x－y2＝1210．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连接EF，则EF的最小值为(　　)A.eq \f(3 \r(3)－3,2) B．2 eq \r(3)－3 C．3 eq \r(3)－3 D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．[2024·南通]若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为________cm.12. 已知α，β为锐角，且α＋β＝90°，cos β＝0.76，则sin α＝________．13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1∶3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为________米．14．利用科普书上的有关公式，发现锐角三角函数存在这样的公式：若α，β为锐角且α＋β≠90°，则tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).如：tan 75°＝tan(30°＋45°)＝eq \f(tan 30°＋tan 45°,1－tan 30°tan 45°)＝eq \f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).利用此公式求解下列问题：(1)若∠A，∠B为锐角且∠A＋∠B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝________；(2)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：eq \r(2)sin 45°－2cos 30°＋ ,(1－tan 60°)2)．16．[2024·浙江]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.(1)求BC的长；(2)求sin∠DAE的值． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17. 通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作can B，这时can B＝eq \f(底边,腰)＝eq \f(BC,AC)，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1)can 30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，can B＝eq \f(8,5)，S△ABC＝24，求△ABC的周长．18．[2024·泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)若AD∥BC(D为格点)，连接CD，则线段CD的长为________；(2)请你在△ABC的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________；(3)若E为BC的中点，求tan∠CAE的值．20．[2024·北京]如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC.(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；(2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．六、(本题满分12分)21．[2024·广东]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：eq \r(3)≈1.73)(1)求PQ的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．七、(本题满分12分)22．[2024·淄博]如图，一次函数y＝k1x＋2的图象与反比例函数y＝eq \f(k2,x)的图象相交于A(m，4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D.且tan∠ACO＝2.(1)分别求这两个函数的表达式；(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧，与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE.求△ABE的面积；(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x＋2＞eq \f(k2,x)的解集．八、(本题满分14分)23. 阅读下列材料，解决后面的问题：我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高．在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对于△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.(1)如图①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面积；(2)如图②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D为AC上一点，求证：BD＝eq \f(2sin(∠1＋∠2),2sin∠1＋sin∠2)；(3)正数a，b，c，d，e，f满足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求证：af＋bc＋de＜1.答案一、1.A　2.D　3.B　4.A　5.C6．C　【点拨】根据题意，设EF＝x，则AH＝3x.∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x.∴AE＝4x.∵∠AEB＝90°，∴AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝5x.∴sin∠ABE＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(4x,5x)＝eq \f(4,5).7．A　【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°.∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝8，EF＝DE.∴BF＝eq \r(AF2－AB2)＝eq \r(82－62)＝2eq \r(7).∴CF＝BC－BF＝8－2eq \r(7).在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2.∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2eq \r(7))2.∴EF＝eq \f(32－8\r(7),3).∴CE＝6－eq \f(32－8\r(7),3)＝eq \f(8\r(7)－14,3).∴cos∠CEF＝eq \f(CE,EF)＝eq \f(\f(8\r(7)－14,3),\f(32－8\r(7),3))＝eq \f(\r(7),4).故选A.8．C　【点拨】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝eq \r(2)，∴tan 22.5°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \r(2)－1.9．C　【点拨】过点A作AQ⊥BC于点Q，过点E作EM⊥BC于点M，连接DE.∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y，∴CQ＝4，eq \f(EM,CM)＝eq \f(AQ,CQ)＝y.∵BE的垂直平分线交BC于点D，BD＝x，∴BD＝DE＝x.∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM.又∵E为AC的中点，∴MC＝eq \f(1,2)CQ＝2.∴EM＝2y，DM＝8－2－x＝6－x.在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.10．C　【点拨】取BC的中点Q，连接EQ，FQ.∵F为AB的中点，∴FQ＝eq \f(1,2)AC.∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝eq \f(BC,tan A)＝eq \f(6,\f(\r(3),3))＝6eq \r(3)，∴FQ＝3eq \r(3).∵∠BEC＝90°，Q为BC的中点，∴EQ＝eq \f(1,2)BC＝3.当E，F，Q三点共线时，EF的值最小，∴EF＝FQ－EQ＝3eq \r(3)－3.二、11.eq \f(5\r(2),2)　12.0.76　13．(25eq \r(3)－25)　【点拨】作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F.在Rt△AOC中，AO＝100米，∠CAO＝60°，∴CO＝AO·tan 60°＝100eq \r(3)米．设PE＝x米，易知FO＝x米．∵eq \f(PE,AE)＝eq \f(1,3)，∴AE＝3x米．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(100eq \r(3)－x)米，PF＝OE＝OA＋AE＝(100＋3x)米．易得PF＝CF，∴100＋3x＝100eq \r(3)－x，解得x＝25eq \r(3)－25.∴PE＝(25eq \r(3)－25)米．14．(1)2　(2)222 三、15.【解】原式＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)－2×eq \f(\r(3),2)＋eq \r((tan 60°－1)2) ＝1－eq \r(3)＋(tan 60°－1) ＝1－eq \r(3)＋eq \r(3)－1 ＝0.16．【解】(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(102－62)＝8.∵tan∠ACB＝1，∴DC＝AD＝6.∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.(2)∵AE是BC边上的中线，∴BE＝eq \f(1,2)BC＝7.∴DE＝BD－BE＝8－7＝1.∵AD⊥BC，∴AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(62＋12)＝eq \r(37).∴sin∠DAE＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,\r(37))＝eq \f(\r(37),37).四、17.【解】(1)eq \r(3)(2)过点A作AE⊥BC于点E.∵can B＝eq \f(8,5)，∴可设BC＝8x，则AC＝5x.∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AB＝5x，BE＝4x.∴AE＝eq \r(AB2－BE2)＝3x.∵S△ABC＝24，∴eq \f(1,2)BC·AE＝12x2＝24，解得x＝eq \r(2)(负值已舍去)．∴AB＝AC＝5eq \r(2)，BC＝8eq \r(2).∴△ABC的周长＝5eq \r(2)＋5eq \r(2)＋8eq \r(2)＝18eq \r(2).18．【解】如图，过点C作CE⊥AB于点E.由题意得∠CAE＝90°－45°＝45°，∠ECB＝30°，∠ECD＝60°，∠CBD＝30°＋60°＝90°，∴∠DCB＝∠ECD－∠ECB＝30°.∵AC＝30 n mile，∴CE＝AC·cos 45°＝15eq \r(2)n mile.在Rt△BCE中，BC＝eq \f(CE,cos 30°)＝10eq \r(6)n mile.在Rt△BCD中，CD＝eq \f(BC,cos 30°)＝20eq \r(2)n mile.答：C，D间的距离为20eq \r(2)n mile.五、19.【解】(1)eq \r(5)(2)∠ACB；eq \f(\r(5),5)(答案不唯一)【点拨】利用网格构造直角三角形易得AB＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(5)，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∴sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(\r(5),5).(3)如图，由平行线等分线段定理以及网格可知BC的中点E在格线上，即格线AN过点E，在Rt△ANC中，AN＝4，NC＝2，∴tan∠CAE＝eq \f(NC,AN)＝eq \f(1,2).20．(1)【证明】∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∵DF＝FB，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥AD.又∵AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形．(2)【解】∵∠EFB＝90°，∴∠CFB＝180°－90°＝90°.在Rt△EFB中，tan∠FEB＝eq \f(FB,FE)＝3，EF＝1，∴FB＝3.由(1)知EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2.∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF＝AD＝2.∴在Rt△CFB中，由勾股定理得CB＝eq \r(CF2＋FB2)＝eq \r(13).六、21.【解】(1)∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q＝∠P＝90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝eq \f(27\r(3),10)m，∠QAB＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠BCE＝90°，∴∠CBE＝30°.∴BC＝eq \f(CE,tan∠CBE)＝eq \f(8\r(3),5)m.∴AD＝eq \f(8\r(3),5)m.∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，∴AP＝AD·cos∠PAD＝eq \f(4\r(3),5)m.∴PQ＝AP＋AQ＝eq \f(35\r(3),10)≈6.1(m)．(2)在Rt△BCE中，BE＝eq \f(CE,sin∠CBE)＝3.2 m，在Rt△ABQ中，QB＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m.∵该充电站有20个停车位，∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m.七、22.【解】(1)在y＝k1x＋2中，当x＝0时，y＝2，∴D(0，2)．∴OD＝2.∵tan∠ACO＝2，∴在Rt△CDO中，tan∠DCO＝eq \f(OD,OC)＝2.∴OC＝1.∴C(－1，0)．把C(－1，0)的坐标代入y＝k1x＋2中，得0＝－k1＋2，解得k1＝2，∴一次函数的表达式为y＝2x＋2，在y＝2x＋2中，当y＝2x＋2＝4时，x＝1，∴A(1，4)．把A(1，4)的坐标代入y＝eq \f(k2,x)中，得4＝eq \f(k2,1)，解得k2＝4.∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x).(2)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x)，,y＝2x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))∴B(－2，－2)．设E(e，0)，由题意得BD＝ED，∴(－2－0)2＋(－2－2)2＝(e－0)2＋(0－2)2，解得e＝4或e＝－4(舍去)．∴E(4，0)．∴CE＝4－(－1)＝5.∴S△ABE ＝S△ACE＋S△CBE＝eq \f(1,2)CE·yA＋eq \f(1,2)CE·|yB|＝eq \f(1,2)×5×4＋eq \f(1,2)×5×2＝15.(3)关于x的不等式k1x＋2＞eq \f(k2,x)的解集为－2＜x＜0或x＞1.八、23.(1)【解】由面积公式可知S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A ＝eq \f(1,2)bcsin 30°＝eq \f(1,2)×2×3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).(2)【证明】∵S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，∴eq \f(1,2)AB·BD·sin∠1＋eq \f(1,2)BC·BD·sin∠2＝eq \f(1,2)AB·BC·sin(∠1＋∠2)．∴2BD·sin∠1＋BD·sin∠2＝2sin(∠1＋∠2)．∴BD＝eq \f(2sin(∠1＋∠2),2sin∠1＋sin∠2).(3)【证明】如图，作边长为1的等边三角形ABC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝a，BD＝b，BE＝c，EC＝d，CF＝e，AF＝f，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵S△ADF＋S△BDE＋S△CEF＜S△ABC，∴eq \f(1,2)af·sin 60°＋eq \f(1,2)bc·sin 60°＋eq \f(1,2)de·sin 60°