广东省广州市天河区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版）

这是一份广东省广州市天河区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（ ）
A B.
C. D.
3. 如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米．
A. 14B. 12C. 10D. 8
4. 抛物线，共同性质是（ ）
A. 开口向上B. 都有最大值
C. 对称轴都是轴D. 顶点都是原点
5. 是方程两个根，则（ ）
A. B. C. 3D. 13
6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共6小题，总分18分）
11. 把一元二次方程化成一般形式是__________．
12. 把函数的图象向上平移1个单位得到的二次函数解析式为______．
13. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________．
14. 已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________．
15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
16. 已知直线和直线，其中为不小于2的自然数．当时．
①求与交点坐标是___________．
②设直线与轴围成的三角形的面积分别为，，，，，则的值为___________．
第II卷（解答题共72分）
三、解答题（本大题共9小题，总分72分）
17. 解一元二次方程：．
18. 如图，在中，是的中点，是上一点，连接并延长到点，使．求证：．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21. 如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上．
（1）求点的坐标；
（2）当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
22. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下运动员必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标；
（2）在该运动员入水点的正前方有点D，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线顶点距水面5米，若该运动员出水经过点，求出水时的抛物线解析式．
23. 受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围）
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
24. 综合与实践：如图1，在菱形中，，，，分别是边上任意点，且．
（1）若设的长为，的面积为，请求出与之间的函数关系；
（2）①的面积记为，的面积记为，求出的最小值．
②在①的条件下，连接分别交于点I、G，若将绕着点D逆时针旋转，试问在旋转过程中是否存在的边与菱形的边平行，若存在请直接写出旋转的度数？
25. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线上有一点，且点到轴和轴的距离相等，将沿直线平移个单位后得到新的抛物线，若与交轴于点，在的对称轴上存在一个点，当取最大值时，求点的坐标．
（3）当时，的最大值与最小值的差为，请求出的值．