重庆市开州中学2025-2026学年高一上学期九月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 命题“ ，有 ”的否定是（ ）
A. ，有 B. ，有
C. ，有 D. ，有
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题“ ，有 ”的否定是 ，有 .
故选：C.
2. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】因为 ，又 ， ，
所以 ，则 .
故选：B
3. 已知集合 ，则满足条件 的集合 C 的个数为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合 B 中的元素，从而判断出 C 中可能的元素，结合子集的个数计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，
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由于 ，则 C 中元素必有 ，且 C 中元素多于 2 个，
其余可能有的元素可从 中选取，
故 C 的个数等于集合 的非空子集的个数，为 个，
故选：D
4. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件即可.
【详解】因为 等价于 ，所以命题“ ， ”为真命题等价于 ，
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为 的真子集， 符合条件.
故选：B
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 对任意 ， 均成立.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项， ，当且仅当 时等号成立，A 选项正确.
B 选项，当 时， ，所以 B 选项错误.
C 选项，当 时， ，所以 C 选项错误.
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D 选项，当 时， ， 不成立，所以 D 选项错误.
故选：A
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】整理得 ， ， ，进而比较大小即可.
【详解】由 ，
，
，
而 ，
则 ，即 .
故选：D.
7. 已知集合 的子集 B 满足：对任意 x， ，有 ，则集合 B 中元素个
数的最大值是（ ）.
A. 506 B. 507 C. 1012 D. 1013
【答案】C
【解析】
【分析】假设 中的最大元素为 ，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设 中的最大元素为 ，
将其余元素分组： ， ， ，…， ，共 组，
一定不包含 .
若 中元素多于 个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为 ，与条件矛盾.
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所以 中元素不能多于 个.
所以当 时， 中元素个数最多，为 个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此
题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.
8. 已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变换得到 ，计算 得到答案.
【详解】不等式 恒成，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 .
故选： .
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选
得 0 分.
9. 已知集合 为有理数集，则下列式子表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合集合 的求解结果和有理数集的性质，对每个选项逐一分析元素与集合、集合与集合的关系，
得出答案.
【详解】 ，由 ，解得 或 ，
所以 .
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因为 ， 不在集合 中，所以 ，选项 A 正确；
是一个集合，所以 ，选项 B 错误；
集合 中的元素 和 都是有理数，所以 ，选项 C 正确；
集合 中的元素都在集合 中，所以 ，选项 D 正确.
故选：ACD.
10. 下列命题中，是真命题 为（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A，由特例可判断；对 B，由平方差公式结合 可判断；对 C，讨论 符号，由不等式性
质可判断；对 D，由绝对值的定义可判断.
【详解】对于 A：若 ，则 ，但 ，A 错误；
对于 B： ，因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，且 ，B 正确；
对于 C：若 ，则由 可知 ，所以 ；
若 ，则 ，由不等式性质可得 ；
若 ，则 ，且由 可知 ，所以 .
综上可知，C 正确；
对于 D：因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，D 错误.
故选：BC.
11. （多选）下列命题为真命题的是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
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B. “ ”是“ ” 充分不必要条件
C. “ ”是“ ”的充分条件
D. “ ”是“ ”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果.
【详解】选项 A，当 时， ，但是 ，故必要性不成立，所以 A 错误；
选项 B，当 时， 一定成立，故充分性成立，当 时， ，故必要性不成立，所以
B 正确；
选项 C，当 时， ，所以充分性不成立，所以 C 错误；
选项 D，当 时， ，
即 ，所以 ，充分性成立，
当 时， ，必要性成立，所以 D 正确．
故选：BD.
三、填空题：共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得命题“ ”是真命题，利用二次函数的性质计算即可得.
【详解】由命题“ ”是假命题，
则命题“ ”是真命题，
则有 ，解得 .
故答案为： .
13. 已知 ， ，则 的取值范围为______．
【答案】
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【解析】
【分析】先设出 ，求出 ， ，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】令 ，则 解得 ，
故 ，由 ，得 ，
又 ，故 ，即 ．
故答案为：
14. 已知集合 关于 的方程 有唯一解 ，用列举法表示 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程 只有一个解或方程 化为一元一次方程，分类讨论即可.
【详解】由 有 ，
当方程 有两个相等实数解时， ，解得 ；
当方程 可化为一元一次方程时，此时一元一次方程有一解，符合题意，
由于 ，
则令 或 ，则 或 ；
此时 为 或 ，只有一解，
所以集合 .
故答案为： .
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知集合 ， ，且 .
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（1）若 ，求实数 组成的集合；
（2）若 ，求 ， 的值.
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
【分析】（1）求得集合 ，由 分类讨论可得 值；
（2）由 得 ， ，求得 ，再求得 ，从而得集合 ，最后可得 值．
【小问 1 详解】
若 ，可得 ，因为 ，所以 ．
当 ，则 ；当 ，则 ；当 ， ．
综上，可得实数 a 组成的集合为 ．
【小问 2 详解】
因为 ， ，
且 ， ，所以 ， ，所以 ，
解得 ，解 ，得 或 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ．
16. 已知实数 x、y、z 满足 ．
（1）若 、 均为正数， ，求 的最小值，并求出此时 、 的值；
（2）证明：“ ”是“ ”的充要条件．
【答案】（1）2， ；
（2）证明见解析.
【解析】
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【分析】（1）由 得到 ，验证
等号成立的条件，即可得到 的最小值及此时 的值；
（2）充分性证明：由 得到 ，利用完全平方公式去掉括号，代入
即可得到 ；必要性证明：将 两边平方，去括号，代入
即可得到 .
【小问 1 详解】
， ， ， ，
，
当且仅当 时取等号，联立 ，解得 ，
的最小值为 2，此时 ；
【小问 2 详解】
充分性证明： ， ， ，
， ， ；
必要性证明： ， ，
， ， .
17. 设全集 ，集合 或 ，集合 或 .
（1）当 时，求 ， ；
（2）若命题 ，命题 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ， ；
（2） .
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【解析】
【分析】（1）根据集合交集、补集运算计算即可；
（2）由题意可知，集合 是集合 的真子集，分 与 两种情况列不等式计算即可求解.
【小问 1 详解】
当 时， 或 ，
所以 或 ，
因为 ，所以
【小问 2 详解】
因为命题 ，命题 ，若 是 的必要不充分条件，
所以集合 是集合 的真子集，
当集合 时， ，即 ，此时满足题意，
当集合 时，即 ，
则 ，解得 ，所以 ，
经检验， 时，满足题意，
所以实数 的取值范围为 .
18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单
位： ）为 .一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于
，而且这个比值越大，采光效果越好
（1）若阁楼 窗户面积与地板面积的总和为 16.5 平方米，则当边长 为多少米时窗户面积最小？最小值是
多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.
【答案】（1） 为 米或 米时，窗户面积最小，最小值为 平方米.
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（2）变好了，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式求 的最小值并求此时 的值；
（2）设列不等式组化简求解；设 a 和 b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积， 表示窗户和地板所增加
的面积，再比较 和 的大小即得解.
【小问 1 详解】
设矩形的另一边长为 ，由三角形相似得 ，且 ，
所以 ，
又矩形面积
设地板面积为 ，解不等式组 ，解得 ，
故当 时，窗户面积最小，
此时由（1）可得 或 ，
故当 为 米或 米时，窗户面积最小，最小值为 平方米.
【小问 2 详解】
设 和 分别表示原来窗户面积和地板面积， 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），
由题意得： ，则 ，
因为 ，
所以 .
又 ，所以 ，
因此 ，即 ，
所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了.
19. 给定数集 A，若对于任意 ，有 ， ，则称集合 A 为闭集合．
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（1）判断集合 ， 是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合 为闭集合，则 是否一定为闭集合？请说明理由；
（3）若集合 为闭集合，且 ， ，证明： ．
【答案】（1）A 不是闭集合，B 是闭集合，证明见解析
（2）不一定，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）集合 A：直接根据题干定义验证即可；集合 B：可任取 ，设 ， ，
，然后验证 与集合 B 的关系即可；
（2）令 ， ，然后取特值进行验证即可；
（3）可采用反证法，假设 ，由 ，可得存在 且 ，故 ；同理，存在
且 ，故 ；然后讨论 和 两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，
从而得到 ．
【小问 1 详解】
A 不是闭集合，B 是闭集合．
∵ ， ， ，∴A 不是闭集合；
任 取 ， 设 ， ， ， 则 且 ， ∴
，同理， ，故 B 为闭集合；
【小问 2 详解】
结论：不一定；
不妨令 ， ，
则由（1）可知， 为闭集合，同理可证 为闭集合，
∵ ， ，
因此， 不是闭集合，
∴若集合 为闭集合，则 不一定为闭集合；
【小问 3 详解】
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假设 ，
由 ，可得存在 且 ，故 ；
同理，存在 且 ，故 ，
∵ ，∴ 或 ．
若 ，则由 为闭集合且 ，得 ，与 矛盾，
若 ，则由 为闭集合且 ，得 ，与 矛盾，
综上， 不成立，故 ．
第 13页/共 13页