（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型04 充分条件与必要条件的求解问题（2份，原卷版+解析版）

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一、充分、必要条件与充要条件的含义
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(3)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(5)若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.
二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求
(1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q.
(2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p.
(3)充要条件: p⟺q.
②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。
考法一：充分、必要条件的判定
1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下：
①分清条件与结论(p与q)；
②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系；
③下结论：p⇒qp⇍q⟺p是q的充分不必要条件，p⇏qp⇍q⟺p是q的既不充分也不必要条件。
2.集合法
设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则
①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若 P⫋Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；
④若 P⊈Q且 Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件。
3.等价法
¬q是 ¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
¬q是 ¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
¬q是 ¬p的充要条件⇔p是q的充要条件；
¬q是 ¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。
考法二：充要条件的证明
1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系；
2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而
证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。
考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。
2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。
3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。
探究一：充分、必要条件的判断
已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式练习】
1．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，，则“”是“”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
探究二：充要条件的证明
设集合，，命题p：，命题q：．
(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．
【变式练习】
1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．
2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.
（1）是的 条件
（2）已知，求证：的 条件是
探究二：根据充分、必要条件求参数的取值范围
方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【变式练习】
1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件
2．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合．
②：集合；：集合．
③： ；： ．
④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．
其中p是q的必要而不充分条件的有（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
4．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
6．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
二、多选题
9．下列叙述中不正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
10．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
11．下列叙述中正确的是（ ）
A．，若二次方程无实根，则
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
12．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
13．已知函数．写出满足“”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可)
14．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
四、解答题
15．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
16．设集合或，或.
(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
17．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
18．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.