（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习04《充分条件与必要条件》(原卷版+教师版)

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1．充分条件与必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是( )
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗
A [D不是陈述句，B、C不能判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？
提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] eq \x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq \x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→ eq \x(\a\al(列不等式,组求解))
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得02．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5， 即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq \f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
4．已知p：实数x满足3a[解] 由p：3a因为p⇒q，所以A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0，
所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤a<0)))).
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是菱形
答案 C
解析 命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
2．设集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.
3．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A．a≤0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
答案 C
解析 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4a>0，,\f(1,a)<0.))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0，故选C.
4．已知P＝{x|－2A．－1C．m≤－1 D．m≥9
答案 B
解析 因为P是Q的必要条件，所以Q⊆P.所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≥－2，,m＋1≤10.))所以－1≤m≤9.故选B.
5．可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是( )
A．mC．m<－eq \f(1,2) D．m<－eq \f(1,4)
答案 A
解析 由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤eq \f(1,4).四个选项中，只有m二、填空题
6．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案 充分
解析 当x＝5时，x2－4x－5＝0，而当x2－4x－5＝0时，x＝5或x＝－1，故“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分条件．
7．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“eq \f(x,y)>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案 充分
解析 x>y>0⇒eq \f(x,y)>1，而由eq \f(x,y)>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足eq \f(x,y)>1，但－5<－4，即xy>0.故“x>y>0”是“eq \f(x,y)>1”的充分条件．
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．
答案 a≤1
解析 由题意可得条件p：x>1，若q是p的必要条件，则p⇒q，也就是说p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤1.
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a>b，q：a>b＋1；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
解 (1)∵a>b推不出a>b＋1，而a>b＋1⇒a>b，∴p是q的必要条件．
(2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，
∴p是q的必要条件．
(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝eq \r(x－1)，x－1＝eq \r(x－1)⇒x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4).
∵m<－1⇒m<－eq \f(1,4)，而m<－eq \f(1,4)推不出m<－1，∴p是q的充分条件．
10．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，求m的取值范围．
解 由3x＋m<0，得x<－eq \f(m,3).记A＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<－eq \f(m,3)，∴p：A＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<－eq \f(m,3).
记B＝{x|x<－1或x>3}，∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p是q的一个充分条件，∴p⇒q，∴A⊆B，∴－eq \f(m,3)≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是m≥3.
B级：“四能”提升训练
1．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；
(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
答案 (1)(ⅰ)①② (ⅱ)③ (2)见解析
解析 (1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
(2)记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－eq \f(p,4)，记B＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<－eq \f(p,4).由题意得B⊆A，则－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4，此时x<－eq \f(p,4)≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．
2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(y))y＝x2－eq \f(3,2)x＋1，－eq \f(1,2)≤x≤2，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解 先化简集合A，
由y＝x2－eq \f(3,2)x＋1，配方，得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋eq \f(7,16).
因为－eq \f(1,2)≤x≤2，所以eq \f(7,16)≤y≤2.所以A＝eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(y))eq \f(7,16)≤y≤2}.
因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，
命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B.
所以m＋1≤eq \f(7,16)或m－1≥2，解得m≤－eq \f(9,16)或m≥3.
故实数m的取值范围是m≤－eq \f(9,16)或m≥3.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件