2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市中部区域联考九年级（上）数学期中试卷

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市中部区域联考九年级（上）数学期中试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=2x2的开口方向是( )
A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右
2.“网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是( )
A. 必然事件B. 不可能事件C. 确定事件D. 随机事件
3.⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
4.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是( )
A. y=x2+3B. y=x2−3C. y=x+32D. y=x−32
5.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB上一动点，则OP的最小值为( )
A. 3B. 5C. 2D. 1
6.已知抛物线y=(x−3)2+c经过点A(2,0)，则该抛物线与x轴的另一个交点是( )
A. (3,0)B. (4,0)C. (−8,0)D. (−4,0)
7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′//AB，若∠CAB=70 ∘，则旋转角的度数是( )
A. 35 ∘B. 40 ∘C. 50 ∘D. 70 ∘
8.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE//AD交AB于点E，BE=BC，∠BCD=122 ∘，则∠ADC的度数为( )
A. 106 ∘B. 112 ∘C. 116 ∘D. 126 ∘
9.已知点A(a,b)，B(a+2,c)两点均在函数y=(x−1)2−2025的图象上．若b2B. a>1C. a>0D. 0CD，求AD的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)的二次项系数a的符号决定，据此进行判断即可．
【详解】解：∵y=2x2的二次项系数a=2>0，
∴抛物线y=2x2的开口方向是向上；
故选：B.
2.【答案】D
【解析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件，进行求解即可．
【详解】解：∵网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号可以是奇数，也可以是偶数，
∴网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数这一事件是随机事件，
故选D.
3.【答案】D
【解析】本题主要考查点与圆心之间的距离关系，熟练掌握点与圆心之间的距离关系是解题的关键．设点与圆心的距离为d，已知点A在圆外，则d>r，即可判断．
【详解】解：当点A在⊙O外时，AO>5cm；
A、B、C选项均不符合；
故选：D.
4.【答案】A
【解析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=x2+3.
故选：A.
5.【答案】A
【解析】根据垂径定理和勾股定理求出OC即可．
【详解】解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，
则AC=BC=12AB=4，
在RtΔAOC中，
OC= OA2−AC2=3，
即点P在AB上移动时OP的最小值为3，
故选：A.
6.【答案】B
【解析】先根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为y=x−32+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线经过点A(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0)，
故选B.
7.【答案】B
【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得到∠ACC′=∠CAB=70 ∘，再根据旋转的性质得到AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′，从而得到旋转角的度数．
【详解】解：∵CC′//AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70 ∘，
∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，
∴AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，
∴∠AC′C=∠ACC′=70 ∘，
∴∠CAC′=180 ∘−2×70 ∘=40 ∘，
即旋转角的度数是40 ∘.
故选：B.
8.【答案】C
【解析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出∠ABC的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出∠BAD=58 ∘，利用CE//AD得出∠BAD=∠BEC，再由BE=BC得出∠ABC=64 ∘，根据圆内接四边形的性质即可求出∠ADC的度数．
【详解】解：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠BCD=122 ∘，
∴∠A=180 ∘−∠BCD=180 ∘−122 ∘=58 ∘，
∵CE//AD，
∴∠BAD=∠BEC=58 ∘，
∵BE=BC，
∴∠ABC=180 ∘−2∠BEC=180 ∘−2×58 ∘=64 ∘，
∴∠ADC=180 ∘−∠ABC=180 ∘−64 ∘=116 ∘.
故选：C.
9.【答案】C
【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．根据二次函数性质即可求出结果．
【详解】解：∵函数y=x−12−2025，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∵b1−a，
解得：a>0，
故选：C.
10.【答案】D
【解析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2=100，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为36，HG=m−1，勾股定理求出m的值，判断A；当x=n时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG=HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2，确定C的纵坐标，判断C，求出x=12时，点Q运动到点K，再利用勾股定理求出PK2，判断D，即可．
【详解】如图，作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，由题意和图像可知PH2=100，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即PG2=36，HG=m−1，
在Rt△PGH中，由勾股定理，得：100=36+m−12，
解得：m=9，
故选项A错误，该选项不符合题意；
∴AG=m=9，HG=m−1=8，
当x=n时，点Q运动到点B，则PB2=PH2=100，
∴PB=PH，
∵PG⊥AB，
∴BG=HG=8，
∴n=AB=9+8=17，故选项B错误，该选项不符合题意；
.∴当x=0，即点Q在点A时，
∴AP2=AG2+PG2=92+36=117；
∴点C的纵坐标为117；故选项C错误，该选项不符合题意；
当x=12时，点Q运动到点K，则：AK=12，
∴GK=AK−AG=12−9=3，
∴PK2=KG2+PG2=32+36=45，即12,45，
∴点在该函数图象上，故选项D正确，该选项符合题意．
故选D.
11.【答案】108 ∘
/108度
【解析】此题主要考查了多边形的内角和定理，正五边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，理解正五边形的五个内角都相等是解决问题的关键．首先根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和的度数，然后再根据正五边形的五个内角都相等即可求出正五边形每个内角的度数．
【详解】解：∵五边形的内角和的度数为：5−2×180 ∘=540 ∘，
且正五边形的五个内角都相等，
∴正五边形每个内角的度数为：540 ∘÷5=108 ∘，
故答案为：108 ∘.
12.【答案】2π
【解析】本题考查弧长公式，弧长公式为nπR180，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【详解】解：半径为6的圆中，60 ∘的圆心角所对的弧长为：60π×6180=2π.
故答案为：2π.
13.【答案】1.6
/85
【解析】先计算正方形的面积，再建立方程求解即可．
【详解】解：边长为2cm正方形面积为22=4，
设黑色部分的总面积为xcm2，
∴x4=0.4，
∴x=1.6，
故答案为：1.6.
14.【答案】40 ∘
/40度
【解析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线．
连接CD，由圆周角定理得到∠ACD=90 ∘，∠ABC=∠ADC=50 ∘，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90 ∘，
∵∠ABC=∠ADC=50 ∘，
∴∠CAD=90 ∘−∠ADC=40 ∘，
故答案为：40 ∘.
15.【答案】40
【解析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A−40,0在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y=150代入求出x的值，即可得CD的长．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴A−40,0,E0,200，
设抛物线的解析式为y=ax2+200，
将A−40,0代入y=ax2+200，
得0=a×−402+200，
解得：a=−18，
∴抛物线的解析式为y=−18x2+200，
将y=150代入y=−18x2+200得：−18x2+200=150，
解得：x=±20，
∴C−20,150,D20,150，
∴CD=20−−20=40m
故答案为：40.
16.【答案】12 10
【解析】根据B、D的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是x=m+3，由对角线互相垂直平分可知四边形ABCD是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是BD的中点在原点，然后求出A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可．
【详解】解：由题意可知Bm,n，Dm+6,n，则BD=6，对称轴都是x=m+3，
∵两个抛物线的a值是相反的，
∴四边形ABCD是菱形，
抛物线的a值确定，抛物线的形状固定，BD的长度固定，则菱形ABCD的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是BD的中点在原点，
此时对称轴为y轴，m+3=0，
∴m=−3，则B−3,0，y1=x2+c1，
将B−3,0代入y1可得：0=9+c1，解得c1=−9，则A0,−9，
∴AB= −32+−92=3 10，则四边形ABCD的周长为12 10.
故答案为：12 10.
17.【答案】【小题1】
解：根据题意得1−b+c=124+2b+c=−3，解得b=−6c=5，
所以该二次函数的解析式为y=x2−6x+5；
【小题2】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，
抛物线的顶点坐标为(3,−4).

【解析】1.
直接把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
2.
利用配方法把y=x2−6x+5配成y=(x−3)2−4，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．
18.【答案】【小题1】
设有x个红球，
1x+1=13，
解得：x=2，
经检验，x=2符合题意，
故x=2是该方程的解，
∴红球有2个．
【小题2】
将摸出的两个球都是红色的事件记为A，列表如下：
一共有9种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果数为4，
∴PA=49.

【解析】1.
直接利用概率公式列出方程求解即可；
2.
先通过列表确定一共有多少种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
19.【答案】【小题1】
解：如图1，线段OD即为所求；
【小题2】
解：如图2，点E即为所求．

【解析】1.
根据垂径定理解决问题即可；
2.
取格点D，作直径OD交⊙O于点E，解决问题即可．
20.【答案】【小题1】
解：抛物线过点A(1,0)和点B(0,2)，
代入得：−12+b+c=0c=2，
解得：b=−32c=2，
∴抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2；
【小题2】
解：由y=−12x2−32x+2可得抛物线的对称轴为：x=−b2a=−−322×−12=−32，
∵点M(m,p)向右平移至点N(n,q)，当点N落在该抛物线上且位于第一象限，
∴可得M、N点关于抛物线对称轴x=−32对称，且N点在抛物线上的曲线AB段上(不含端点)，
∵A(1,0)和点B(0,2)，M、N点关于抛物线对称轴x=−32对称，
若N为点A时，即N(1,0)，
由对称轴为直线x=−32=m+12，
解得：m=−4，
同理若N为点B时，m=−3，
∴m的取值范围为−440)，当天销售利润为y元，则当天的销售量为[280−(x−40)×10]件
同理(2)可得：y=x(680−10x)−30(680−10x)
=−10x2+980x−20400
=−10(x−49)2+3610
由二次函数的性质可知：抛物线的开口向下，当x=49时，y取得最大值，最大值为3610元
答：当该纪念品的销售单价定为49元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值，最大利润为3610元．

【解析】1.
当销售单价为45元时，比40元增加了5元，从而可得每天的销售数量减少的数量，即可得出答案；
由题意得：280−(45−40)×10=230(件)
故答案为：230；
2.
设纪念品的销售单价为x元，先求出对应的当天的销售量，再根据“销售利润=销售总额-进货成本”建立方程求解即可；
3.
设纪念品的销售单价为x元，纪念品的当天销售利润为y元，同题(2)的思路，可得出y关于x的一个二次函数，再利用二次函数的性质即可得．
23.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的对称轴是直线x=3，
∴−322a=3，
解得a=−14，
∴抛物线的解析式为：y=−14x2+32x+4；
【小题2】
解：当y=0时，−14x2+32x+4=0，
解得x1=−2，x2=8，
∴点A的坐标为−2,0，点B的坐标为8,0；
【小题3】
解：当x=0时，y=−14x2+32x+4=4，
∴点C的坐标为0,4，
设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，
将B8,0，C0,4代入y=kx+b得8k+b=0b=4，
解得k=−12b=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4，
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为x,−14x2+32x+4，
如图所示，过点P作PD//y轴，交直线BC于点D，
则点D的坐标为x,−12x+4，
则PD=−14x2+32x+4−−12x+4=−14x2+2x，
∴S四边形PBOC=S△BOC+S△PBC
=12×8×4+12PD⋅OB
=16+12×8−14x2+2x
=−x2+8x+16
=−x−42+32；
∴当x=4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32；
∵0CD符合题意，
∴AD=AC=4；
②当AB=CD时，如图，
过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB=CD,∠ACB=45 ∘，
∴∠DAC=45 ∘，
∴AE=DE，∠ACD=180 ∘−∠DAC−∠ADC=180 ∘−45 ∘−75 ∘=60 ∘，
∴∠ACD>∠DAC
∴AD>CD符合题意，
设CE=x，则AE=DE= 3x，
∵AC=AE+CE，即4= 3x+x，
∴x=2 3−1，
∴AE=DE= 3×2 3−1=6−2 3，
∴AD= 2AE= 2×6−2 3=6 2−2 6，
综上，AD的值为4或6 2−2 6.

【解析】1.
由题意得BC=CD,∠BAC=∠DAC，从而得到结论；
2.
在DE上截取DG=AB，连接FG，证明△ABC≌△DGFSAS，由全等三角形的性质得到∠ABC=∠DGF，FG=BC，证出∠ABC+∠E=180 ∘，则可得出结论；
3.
分两种情况：①当BC=CD时，求出AD=AC=4；②当AB=CD时，过点D作DE⊥AC于点E，由直角三角形的性质可得出答案．
白
红
红
白
(白，白)
(白，红)
(白，红)
红
(红，白)
(红，红)
(红，红)
红
(红，白)
(红，红)
(红，红)