微专题10　重构数列问题高考数学一轮复习讲义练习

这是一份微专题10　重构数列问题高考数学一轮复习讲义练习，共5页。试卷主要包含了 已知两个等差数列{an}等内容，欢迎下载使用。
例1 (1) (2024·漳州三检)将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝( )
A. 237B. 238
C. 239D. 240
(2) (2024·汕头二模)已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为( )
A. 1 678B. 1 666
C. 1 472D. 1 460
处理两个数列的公共项问题的两种方法
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
增项问题
例2 (2024·滨州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.
变式2 (2025·温州一模)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，在其相邻两项ak，ak＋1之间插入2k个3(k∈N*)，得到新的数列{bn}．记{bn}的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为( )
A. 28B. 29
C. 30D. 31
减项问题
例3 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．
(1) 求r的值；
(2) 设bn＝2(1＋lg2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．
对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法可解决此类问题．
计数数列
例4 (2024·临汾三模)已知首项为1的正项数列{an}的前n项和Sn＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,an))).用[x]表示不超过x的最大整数，则[S1]＋[S2]＋[S3]＋…＋[S112]＝_______________.．
变式4 (2024·广东大湾区二模)已知数列{an}为等差数列，a1＝－4，其前n项和Sn满足：当n∈N*且n＜9时，S1＋ eq \f(S2,2)＋…＋ eq \f(Sn,n)＝S1＋ eq \f(S2,2)＋…＋ eq \f(S9－n,9－n).
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 定义集合Mn＝{ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn中的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10.
配套精练
1. 已知n∈N*，an＝ eq \f(1,2n－1)，bn＝ eq \f(1,(n＋1)2－1)，将数列{an}与数列{bn}的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前99项和为( )
A. eq \f(196,197) B. eq \f(198,199)
C. eq \f(98,197) D. eq \f(99,199)
2. 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2lg2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20＝( )
A. 599 B. 569
C. 554 D. 568
3. (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则( )
A. an＝5n
B. an＝5n
C. {an}的前n项和为 eq \f(5(5n－1),4)
D. {an}的前n项和为 eq \f(5(25n－1),24)
4. 已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式为cn＝_______________._；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是______________．
5. 已知公差大于0的等差数列{an}满足a2a4＝a11，a3＝5.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 在an与an＋1之间插入2n个2，构成新数列{bn}，求数列{bn}的前110项和S110.
6. (2024·湘潭3月质检)设各项都不为0的数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝2 eq \s\up6(\f(n(n－1),2))·an，a1＝2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 保持数列{an}中的各项顺序不变，在每两项ak与ak＋1之间插入一项2(ak＋1－ak)(其中k＝1，2，3，…)，组成新的数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞2 026，求n的最小值．
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
8. (2024·日照一模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，a eq \\al(2,n)成等差数列．
(1) 求a1及{an}的通项公式；
(2) 记集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(an))an＋\f(4,an)≤2k，k∈N*))的元素个数为bk，求数列{bk}的前50项和．