微专题11　数列不等式的证明高考数学一轮复习讲义练习

这是一份微专题11　数列不等式的证明高考数学一轮复习讲义练习，共7页。
例1 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且当n≥2时，满足an＝ eq \f(S eq \\al(2,n),Sn－1).
(1) 求证：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是等差数列；
(2) 求证：S eq \\al(2,1)＋S eq \\al(2,2)＋…＋S eq \\al(2,n)＜ eq \f(7,4).
常见的放缩形式
(1) eq \f(1,n2)＜ eq \f(1,(n－1)n)(n≥2)， eq \f(1,n2)＞ eq \f(1,n(n＋1))， eq \f(1,n2)＝ eq \f(4,4n2)＜ eq \f(4,4n2－1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
(2) eq \f(1,\r(n))＜ eq \f(2,\r(n－1)＋\r(n))(n≥2)， eq \f(1,\r(n))＞ eq \f(2,\r(n)＋\r(n＋1))；
(3) eq \f(1,2n－1)＜ eq \f(2n-1,(2n-1－1)(2n－1))＝ eq \f(1,2n-1－1)－ eq \f(1,2n－1)(n≥2).
变式1 已知函数f(x)＝x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)均在函数y＝f(x)的图象上，若bn＝ eq \f(1,2)(an＋3).
(1) 当n≥2时，试比较bn＋1与2bn的大小；
(2) 记cn＝ eq \r(\f(1,bn))(n∈N*)，证明：c1＋c2＋…＋c400＜39.
放缩成等比
例2 (2024·赣州二模)已知数列{an}满足a1＝ eq \f(1,4)，且an， eq \f(3,2)an＋1，2anan＋1成等差数列．
(1) 证明：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－1))是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2) 记{an}的前n项和为Sn，证明： eq \f(3,8) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(n)))≤Sn＜ eq \f(5,12).
变式2 (2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝4，Sn＋1＝ eq \f(1,2)an＋1＋3an，设bn＝an＋1＋kan.
(1) 判断是否存在常数k，使数列{bn}为等比数列，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
(2) 求Sn的表达式，并证明 eq \f(1,S1)＋ eq \f(1,S2)＋…＋ eq \f(1,Sn)＜ eq \f(3,2).
函数型放缩
例3 已知数列{an}满足a1＝ eq \f(3,2)，an＋1＝3an－1，n∈N*.
(1) 若数列{bn}满足bn＝an－ eq \f(1,2)，证明：数列{bn}是等比数列；
(2) 若数列{cn}满足cn＝lg3an，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，求证：Tn＞ eq \f(n(n－1),2).
变式3 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且2Sn＝(n＋1)an，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 证明：对一切正整数n，有 eq \f(a1＋1,a1)× eq \f(a2＋1,a2)×…× eq \f(an＋1,an)＞ eq \r(n＋1).
配套精练
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ eq \f(1,2)nan＋an－1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,a eq \\al(2,n))))的前n项和为Tn，求证：Tn＜ eq \f(3,2).
2. (2024·邢台二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 求证： eq \f(1,S1)＋ eq \f(1,S2)＋ eq \f(1,S3)＋…＋ eq \f(1,Sn)＜2.
3. (2024·烟台三模)在数列{an}中，已知2an＝an＋1＋anan＋1，a1＝ eq \f(4,3).
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若bn＝a eq \\al(2,n)－an，Sn为数列{bn}的前n项和，证明： eq \f(4,9)≤Sn＜1.
4. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2n+1，n∈N*.
(1) 证明： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2) 求数列{an}的前n项和Sn；
(3) 求证： eq \f(1,a2－a1)＋ eq \f(1,a3－a2)＋ eq \f(1,a4－a3)＋…＋ eq \f(1,an＋1－an)＜ eq \f(1,2).
5. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1＝1且a2，a5，a14成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2) 求证： eq \f(3,2)－ eq \f(1,n＋1)＜ eq \f(1,S1)＋ eq \f(1,S2)＋ eq \f(1,S3)＋…＋ eq \f(1,Sn)＜2－ eq \f(1,n)(n≥2且n∈N*)．