【中考数学】2025年云南省真题试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年云南省真题试卷【附解析】，共19页。试卷主要包含了考生必须在答题卡上解题作答，如图，已知直线与直线都相交，下列计算正确的是，若点在反比例函数，下列图形是某几何体的三视图，一个六边形的内角和等于，函数的自变量的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ）
A．元B．5元C．元D．10元
2．地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．圆锥D．圆柱
7．一个六边形的内角和等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（）
A．B．C．D．
9．函数的自变量的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
11．某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
12．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A．B．C．D．
13．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
14．某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．如图，在中，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16．已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
17．分解因式： ＝ ．
18．如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是 ．
19．某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．计算：．
21．如图，与相交于点，．求证：．
22．某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料．
23．九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．
24．如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
25．请你根据下列素材，完成有关任务．
26．已知是常数，函数，记．
(1)若，，求的值；
(2)若，，比较与的大小．
27．如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
购买个篮球与购买个排球需要的费用相等；
素材二
购买个篮球和个排球共需元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍．
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．
1．A
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额．
根据正负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：110000用科学记数法可以表示为，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4．B
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积．，而选项D仅对 平方，未对 平方，故D错误．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值．
【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，
∴将，代入，得：
解得：，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征：
由三视图条件分析判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键．
根据多边形的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴
故选：A．
9．D
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ．
根据分母不等于0得到，求解即可．
【详解】解：∵函数的分母为．
∴当分母时，分式无意义，
∴．
解得，
故自变量的取值范围是，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意，
故选：C．
11．C
【分析】本题考查众数的概念，需确定数据中出现次数最多的数是众数是解题的关键．
根据众数的概念即可求解．
【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次； 100分出现1次，
∵其中90分出现的次数最多（5次），
∴这组数据的众数是90，
故选：C．
12．A
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
第5个代数式为，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是，
故选：A．
13．B
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，难度不大．
设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
14．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程．
【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为，
由题意得： ，
故选：A．
15．D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴在中，，
故选：D．
16．
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则．
【详解】解：∵点在上，
∴点到圆心的距离为，
故答案为：．
17．
【分析】利用提公因式法即可分解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
18．
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有（名），
故答案为：．
20．8
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
21．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可．
【详解】证明；在和中，
，
∴．
22．机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）画树状图，得到共有种等可能的结果；
（2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意画树状图如下，
共有种等可能的结果；
（2）解：由树状图得，的结果有种，
组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．
24．(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形；
（2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的长为10．
25．任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程即可；
任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小，从而求解．
【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元，
根据题意得：，解得：，
答：每个篮球元，每个排球元；
任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小，为元，
答：购买篮球个，排球个，最节省费用．
26．(1)的值为；
(2)当时，；当时，．
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把，代入函数即可求解；
（）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把，代入函数得，
，
∴的值为；
（2）解：将，代入函数得，
，
整理得：，
当时，即，
∴，
当时，，
则有，，
，
∴
，
综上可知：当时，；当时，．
27．(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在常数，，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明是等边三角形即可；
（）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证；
（）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：存在常数，，使等式成立；
理由如下：
如图，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
得：，
∵，
∴，
∴，．