2025年中考数学真题完全解读（云南卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（云南卷），共26页。试卷主要包含了紧扣课程标准，突出关键能力，兼顾地区特色与学情，计算量与思维量并重等内容，欢迎下载使用。
本试卷源自云南省初中毕业生学业水平考试，面向全省的初中毕业生，具备一定的权威性和代表性。试卷整体分为三大题型、27个小题，总分为100分，考试时间为120分钟。试卷题型涵盖选择题、填空题以及解答题，其形式与云南省往年中考保持一致，但在知识点的覆盖范围和难度梯度上，更注重探究性，反映了对学生综合数学素养的重视。
试卷的编制基于《义务教育数学课程标准》的基本要求，并考虑了云南省的教育实际情况，全面考察了数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合应用等领域。与以往相比，本试卷更加重视数学概念在实际情境中的应用，强调对学生综合应用能力、逻辑推理能力以及数据分析能力的评估，充分展现了新课程改革下“基于关键能力培养”的命题导向。试题整体难度适宜，既具有基础性又具有区分度，能够对不同水平的学生进行有效区分。
命题依据与能力考查
（一）契合《课程标准》与《中考评价体系》
本套试卷的命题严格遵循《义务教育数学课程标准》，并结合云南地区的教学进度和学生学情，确保试题既符合国家课程标准，又贴近地方实际。试题覆盖代数、几何与统计等多领域内容，对常见的知识点一次函数、反比例函数、三角函数值以及相似、全等、多边形性质等都有所涉及。根据《中考评价体系》的要求，卷面既包含对基础知识的直接测评，也融入了思维能力、解决实际问题能力以及数学建模能力的考查。
（二）知识覆盖广、计算量适中、思维要求突出
本次试卷广泛涵盖了代数、几何图形、函数与统计等核心数学领域。计算难度适中，旨在评估学生对运算技巧的掌握程度，同时重视其对关键数学概念和方法的理解。从难度分布来看，试卷整体平稳，题目难度由易至难逐步递增。选择题和填空题主要考察基础知识及其简单应用，难度适宜；解答题的前几道题侧重于基础应用和经典几何、代数问题，而后续题目则展现出一定的综合性和灵活性，强调运用数学思想和方法分析实际问题或多个知识点的融合。题目注重解题过程和思维策略，如相似三角形的判定、矩形性质的应用、概率的数形结合等，反映了《中考评价体系》对学生关键能力的期望。
在知识覆盖方面，本试卷展现出较高的全面性：代数部分包括整式运算、因式分解、函数与方程、不等式等；几何图形部分涵盖三视图与空间认识、圆与切线、三角函数、相似形和矩形性质；统计与概率部分则通过实例或情境设置，检验学生对数据分析、概率原理的理解。这样的内容布局既符合课程目标对认知能力和应用能力的要求，也适应了云南地区学生的教学实际。
（三）注重对教学与学生能力有效性的考查
1、紧扣课程标准，突出关键能力
试卷在选题上紧紧围绕课程标准对初中数学核心素养的要求，引导学生在掌握基础运算和概念的同时，能进行数据分析与几何推理。多道题型凸显数形结合、函数思维和实际问题建模能力，充分考查了“必备知识、关键能力、正确价值观与必需品格”。
2、兼顾地区特色与学情
基于云南地区初中教学进度与学生学情，试题在命制过程中体现了坡度合理、覆盖面广的特征，适合大多数学生在规定时间内完成，保证基础性；同时又设置部分综合性、探究性较强的压轴题，兼具选拔与培养的双重功能。
3、计算量与思维量并重
试卷对计算的准确性、逻辑推理以及论证方法提出了较高的要求，确保了对学生运算能力的深入检验，并且重视对数学思维的全面评估，有效地鉴别了不同层次的考生。
综合审视，2025年云南省初中学业水平考试数学卷紧密贴合《课程标准》的核心理念，同时考虑了云南初中教学的现实状况；题型、难度及内容的分布恰当，既关照了大多数学生的基础知识掌握，也适度突出了优秀学生的思维深度。整卷的导向清晰，强调了数学的实用性和逻辑思维的重要性，对于培养学生数学素养、激发学习兴趣以及提高问题解决能力具有良好的导向作用。可以预期，这套试题对于数学教学精准掌握学科核心知识、实施新课标要求、提升学生核心素养具有积极的指导作用。
题型结构与特点
（一）选择题部分（第1～15小题）：本次考试共包含15道题目，每题2分，内容涉及正负数、科学记数法、平行线性质、整式运算、反比例函数、自变量取值范围、图形轴对称以及三视图等多个方面。这些题目不仅检验了学生的基础知识掌握情况，而且强调了知识的灵活运用和情境创设的重要性。例如，通过轴对称原理来分析汉字的结构，以及利用函数知识来解决实际问题中的正负号问题，这些做法有效地促进了学生思维能力的提升和应用意识的培养。
（二）填空题部分（第16～19小题）：共有四道小题，每题分值为两分，虽然分值不高，但涵盖的知识面广泛，包括图形性质（例如菱形面积与对角线的关系）、因式分解、圆的基本概念以及统计学与概率论。填空题的命题方式通常直接明了，要求学生对核心概念有精确的理解，计算过程应简洁高效，注重解题过程中的思路清晰度与计算的准确性。
（三）解答题部分（第20～27小题）：本部分共包含八道题目，分值较高，主要涉及方程与函数、几何图形性质、统计与概率以及综合应用等领域。例如，在综合题中，考生将面临分式方程、相似三角形与矩形判定等知识点的考察，同时也会遇到解析几何与概率综合的情境题。该部分的命题重点在于考察学生的思维过程，要求考生能够从多个角度审视问题，并具备一定的逻辑推理能力。
题型变化
（一）总体结构对比
与2024年真题相比，2025年试卷依旧分为「选择题」「填空题」「解答题」三大题，共27小题，题型数量与顺序未发生改变，分值设置与时长也保持一致。
（二）考查方向的新特点
1、情境设置更贴近真实生活
多道小题融入了时事热点（如垃圾分类、公益活动等），要求学生在数学建模或统计分析中体现社会责任意识。
2、知识融合度提升
部分解答题将一次函数、相似形、概率统计等多知识点交叉考查，强调思维迁移与综合运用。
3、探究性与应用性结合更紧密
最后1～2道大题加入几何与函数的拓展探究，突出对学生创新思维和综合解题能力的要求。
（三）对学生能力要求的影响
1、思维过程要求更完整
数学表达与逻辑推理环节增加，需学生有较好的表达和推断能力，避免仅靠套路解题。
2、阅读分析与模型构建能力提升
应用题背景包罗万象，学生需快速抽象出数学模型；对信息提炼与分析技巧的要求更高。
3、综合素养与创新应变能力强化
后期复习既要注重知识系统性，还要多留意融合性与创新性练习，以应对新类型或情境深化的考查。
考情分析
以下为本套试卷（共 27 小题，满分 100 分，考试用时 120 分）的整体结构与考情分析。试卷分为三大题：
第Ⅰ大题：选择题（第 1～15 题，每题 2 分，共 30 分）
第Ⅱ大题：填空题（第 16～19 题，每题 2 分，共 8 分）
第Ⅲ大题：解答题（第 20～27 题，共 62 分）
为便于清晰展示，本部分以表格形式汇总了各小题的分值、题型、考查内容以及难易分析，并对试卷整体难度作出评估。
（一）各题目考查情况表
说明：
难度划分以“易、中、难”三档来区分，每道题目的归类会因地区与学情略有不同。表格中仅根据本试卷的总体情况给出大致定位。
解答题各小题的分值分配仅根据总分 62 分的需求做出合理假设，供参考。
（二）整体难度评估
易： 约占本套卷面的 50% 左右，主要涉及基础知识和基本方法的考查，例如第 1、2、3、4、5、6、7、10、11、16、17、18、19、20、22 等题。这些题目通常能够通过课本中的例题以及基础训练题来加以巩固，重点在于对概念的理解和基本技能的掌握。
中： 约占本套卷面的 35% 左右，稍有综合性或一定思维含量的题目，如第 8、9、12、13、14、15、21、23、24、25 等。这些题目要求考生对知识点之间的关联性具备一定的理解，并且通常需要进行多步骤的推理或计算。
难： 约占本套卷面的 15% 左右，包括第 26、27 等题目。此类题目在逻辑推理、综合运用几何或代数知识以及进行探究性证明方面提出了较高的要求，需要学生对相关概念有更深入的理解，并具备强大的分析与综合应用能力。
（三）不同难度层级题目的特点
易：题目含义明确、解题步骤简明扼要，直接针对单一知识点或普遍应用的方法进行考察。通常情况下，对课本内容和常规解题策略的熟悉足以保证答题的顺利进行。
中： 通常需要将多个基础知识点进行综合运用，这要求具备一定的关联思维能力。可能涉及几何判定与性质的综合，或包含参数代数式的探究等，这些都需要运用多步骤的推理以及不同知识点之间的相互联系。
难： 此类问题通常具有较高的综合性或探究性。例如，解决某些几何问题时，学生需要先构建辅助线或进行多步骤推理，有时还需将代数与几何的思维相结合；再如，函数与不等式的结合，需要进行讨论或极值分析，这要求学生综合运用多种技能，并保持严密的逻辑性。
本试卷总体难度层次分布合理，既能考查学生对基础知识的掌握，也能考查学生综合应用数学思想、方法的能力，适合作为九年级毕业水平测试或学业水平考试的终结性评价使用。祝各位考生在备考时合理规划，夯实基础的同时提高解题的灵活度和综合能力。
备考指津
在本套试卷中，各类题型设置较为全面，涉及到数与代数、图形与几何、统计与概率等核心板块，既考查了基础运算、函数应用、几何推理，也渗透了数据分析、思维拓展等综合能力。为帮助同学们高效备考，特提出以下几点建议。
（一）复习规划
1、基础巩固阶段
重点梳理公式与概念：如正负数的表示、科学记数法、分式与反比例函数的基础性质等。熟记并理解常用的几何性质，如“两直线平行时内错角相等”“矩形的判定与性质”“圆周角定理”等。
针对运算：系统复习整式运算与因式分解，确保会熟练应用提公因式法、特殊因式分解等方法。可定期自测：如计算 40+2−1−3⋅3 等，培养运算准确度。
2、综合提高阶段
加强函数与方程的联系：比如反比例函数 y=kx、一元二次方程 1+x2=1.2，以及分式方程、实际应用题等。注意方程中的增减率、平均增长率的分析，掌握设置未知数、列方程（组）求解的思路。
深度理解几何：包括三角形相似与全等、圆与切线、矩形或菱形对角线性质、勾股定理等。要学会在辅助线的帮助下，通过“平行”“中点”“圆心”等关键字迅速明确切入点。
3、模拟冲刺阶段
查漏补缺：通过模拟或真题训练及时发现薄弱环节，回归课本，强化对易错知识的理解，如函数自变量取值范围、轴对称图形的鉴别、菱形面积的快速计算等。
归纳总结：梳理在做题时易出现的失分点并总结如何避免，如审题不仔细导致混淆题目已知、“分母为零”导致函数取值范围发生变化等。
（二）答题技巧
1、选择题
充分利用排除法：先根据已知信息排除明显不合逻辑或与常识相悖的选项，再对剩余选项进行更深入的分析或代入检验。
拆分计算：遇到复杂计算时，可先分步骤演算，如把 110000 用科学记数法表示为 1.1×105，再对比选项。
2、填空题
注意检验：填写前迅速回顾关键步骤是否漏算或误算。如函数题应注意分母不为零；几何题中要确认量出的数据是否用对公式（如菱形面积 =12×d1×d2）。
注重格式：有些题目要求简化结果，要保证最后的形式最简，尤其是分式、根式或指数形式的结果。
3、解答题
书写规范：先写已知和求证或求解的目标，再展开解题过程。几何证明，配合图形标注，条理分明；代数运算可列出主要运算步骤，以便自查自纠。
强调思维完整：尤其是几何题，要合乎逻辑地连贯推理，切忌“一步到位”却忽略了中间关键理由。函数题要写清设未知数、化简与求解的过程，并注意增根或漏解的排查。
（三）心理调适
1、合理规划时间
在复习中，可按照知识模块轮流复习，适当安排动手实践（如画几何示意图、操作几何工具），避免单纯题海战术导致疲惫。
模考或自测时，先快速解决自己熟悉的题型，提升信心；面对难题时保持冷静，勇于尝试多种思路或与已学知识建立联系。
2、保持积极心态
面对考试压力，需正视适度紧张。可以在课间或家中进行适量体育锻炼，放松心情。
若遇到瓶颈期，不要轻易否定自己，可以求助老师或同学，一同讨论题目思路，借此打开思维“死结”。
（四）命题趋势
1、关注核心素养
从本卷可见，越来越多的试题注重联系实际背景，比如垃圾分类、敬老院献爱心等社会主题。今后要学会在真实情境中提炼数学模型，将所学知识与生活情境相融合。
统计与概率题依旧是常考板块，尤其是简单随机抽样、扇形统计图的应用分析等。
2、重视几何综合
多边形、圆和相似三角形等综合题依旧是重点，常与角度、三角函数、相似比等混合考查。要熟练掌握“分割—转化—合并”的思考路径，灵活运用各类几何定理或辅助线。
切线与圆、矩形或菱形等不规则图形的结合，是常见的压轴设计方向，需多积累常见结论与推理方法，如“切线垂直于半径”“对角线平分”等。
在后续复习中，建议同学们继续强化对基础知识的熟练掌握，同时多加练习中档与稍高难度的综合题，做到思路清晰、步骤规范、情绪平稳。希望各位在中考中发挥出色，一举夺魁！祝大家学习顺利，金榜题名。
综合以上建议，祝同学们在最后的复习阶段能有条不紊、稳步前进。踏实打牢基础、认真反思错题、科学安排练习与休息、保持良好心态，定能在中考中取得满意的成绩！预祝大家顺利发挥，圆梦中考！
真题解读
2025年云南省初中学业水平考试
数 学
（全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ）
A. 元B. 5元C. 元D. 10元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额．
根据正负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元，
故选：A．
2. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：110000用科学记数法可以表示为，
故选：C．
3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积．，而选项D仅对 平方，未对 平方，故D错误．
故选：B．
5. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值．
【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，
∴将，代入，得：
解得：，
故选：B．
6. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A. 正方体B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征：
由三视图条件分析判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：D．
7. 一个六边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键．
根据多边形的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
8. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴
故选：A．
9. 函数的自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ．
根据分母不等于0得到，求解即可．
【详解】解：∵函数的分母为．
∴当分母时，分式无意义，
∴．
解得，
故自变量的取值范围是，
故选：D．
10. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意，
故选：C．
11. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查众数的概念，需确定数据中出现次数最多的数是众数是解题的关键．
根据众数的概念即可求解．
【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次； 100分出现1次，
∵其中90分出现的次数最多（5次），
∴这组数据的众数是90，
故选：C．
12. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
第5个代数式为，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是，
故选：A．
13. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，难度不大．
设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
14. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程．
【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为，
由题意得： ，
故选：A．
15. 如图，在中，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴在中，，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则．
【详解】解：∵点在上，
∴点到圆心的距离为，
故答案为：．
17. 分解因式： ＝ ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法即可分解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
18. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积是，
故答案：．
19. 某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有（名），
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. 计算：．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
21. 如图，与相交于点，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可．
【详解】证明；在和中，
，
∴．
22. 某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料．
【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
23. 九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）画树状图，得到共有种等可能的结果；
（2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意画树状图如下，
共有共种等可能的结果；
【小问2详解】
解：由树状图得，的结果有种，
组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动概率．
24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形平行四边形，再由即可证明为矩形；
（2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的长为10．
25. 请你根据下列素材，完成有关任务．
【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程即可；
任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小，从而求解．
【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元，
根据题意得：，解得：，
答：每个篮球元，每个排球元；
任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用元，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小，为元，
答：购买篮球个，排球个，最节省费用．
26. 已知是常数，函数，记．
（1）若，，求的值；
（2）若，，比较与的大小．
【答案】（1）的值为；
（2）当时，；当时，．
【解析】
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把，代入函数即可求解；
（）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入函数得，
，
∴的值为；
【小问2详解】
解：将，代入函数得，
，
整理得：，
当时，即，
∴，
当时，，
则有，，
，
∴
，
综上可知：当时，；当时，．
27. 如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
（1）若，且，求的度数；
（2）求证：直线是的切线；
（3）探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）存在常数，，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明是等边三角形即可；
（）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证；
（）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解．
【小问1详解】
解：∵，且，
∴是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问3详解】
解：存在常数，，使等式成立；
理由如下：
如图，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
得：，
∵，
∴，
∴，．
题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
2
选择题
正负数表示相反意义量
易
2
2
选择题
科学记数法
易
3
2
选择题
平行线的性质（内错角相等）
易
4
2
选择题
整式运算（同底数幂、合并同类项等）
易
5
2
选择题
反比例函数（待定系数法）
易
6
2
选择题
几何体的三视图与立体几何体识别
易
7
2
选择题
多边形内角和公式（六边形内角和）
易
8
2
选择题
相似三角形的判定与性质
中
9
2
选择题
函数自变量的取值范围（分母不为零）
中
10
2
选择题
轴对称图形的识别（汉字“中”字）
易
11
2
选择题
统计与概率（众数）
易
12
2
选择题
代数式规律与单项式（奇数系数的规律）
中
13
2
选择题
圆锥的侧面展开图与底面圆半径计算
中
14
2
选择题
增长率与一元二次方程建模
中
15
2
选择题
锐角三角函数（sinθ 定义）
中
16
2
填空题
点和圆的位置关系（圆上点到圆心的距离）
易
17
2
填空题
因式分解（提取公因式）
易
18
2
填空题
菱形的性质（对角线和面积）
易
19
2
填空题
统计图与简单随机抽样（扇形统计图推断）
易
20
6
解答题
含特殊角三角函数值、零指数幂及运算综合
易
21
6
解答题
全等三角形判定、几何证明
中
22
6
解答题
分式方程的应用（机器人搬运问题）
易
23
6
解答题
用树状图或列表法求概率（抽卡片分组）
中
24
8
解答题
矩形的判定与性质、勾股定理
中
25
8
解答题
二元一次方程组、不等式组与一次函数综合应用（购物方案）
中
26
8
解答题
分式求值、函数求值与方程综合（分式恒等、讨论大小）
难
27
14
解答题
圆、切线及圆周角定理综合（外接圆、几何探究与证明）
难
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
购买个篮球与购买个排球需要的费用相等；
素材二
购买个篮球和个排球共需元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍．
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．