【中考数学】2025年江苏省宿迁市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年江苏省宿迁市试卷【附解析】，共31页。试卷主要包含了《九章算术》中记载，分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．2B．-2C．D．
2．下列计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
3．宿迁市年第一季度总量突破一千亿大关，约为亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．正方体D．长方体
5．如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．要使分式有意义，实数的取值范围是 ．
10．分解因式：
11．点在第一象限，则实数的取值范围是 ．
12．某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为 分．
13．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ．
14．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ．
15．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ．
16．一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
17．方程的两个根分别是，则
18．如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
(1)扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
(2)本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
(3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
22．某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目．
(1)甲同学选择A项目的概率为___________；
(2)请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率．
23．小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
24．实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
25．如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
26．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；
(2)当时，求关于的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为．
27．定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
28．如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
1．A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键在于明确正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值小的，反而大．通过分析正负数的大小关系即可得出结论．
【详解】解：∵，，且，
∴，
最大的数2，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
故选：．
3．B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选：．
4．D
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据常见几何体的三视图可得出答案，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：根据主视图和左视图是长方形可知，该几何体是柱体，俯视图判断几何体的底面形状是正方形，说明几何体是长方体，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C．
【详解】解：点、、分别是边、、的中点
∴为的中位线，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵，是边的中点，
∴，
故C错误，符合题意，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
由旋转性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得，
由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得，
因此可列方程组，
故选D．
8．C
【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，
点、在双曲线上，
∴，
轴，轴，轴，
∴，
∵，且共底，
∴在上的高相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
11．
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为：
12．
【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键．
按照加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分），
故答案为：．
13．10
【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形，
周长为：，
故答案为：10．
14．
【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键．
根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得母线长为，
∴其侧面积为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．5
【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
18．3
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题，找出点E的运动轨迹是解题的关键．
作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时， 取最大值，由此可解．
【详解】解：作于点F，作于点K，
中，，
，
，
．
，，
，
又，
，
，
，是定值，
取最大值时，取最小值；
点D运动过程中，始终保持，
点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，
当点E，K，O共线时，即点E在位置时，取最大值，
，，
，
，即，
，
，即的最大值为，
此时，
的最小值是3，
故答案为：3．
19．．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：
．
20．；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键．
先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．(1)40，12
(2)C
(3)80人
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求中位数等知识点，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）先由档人数除以占比求出抽取的人数，由档人数除以抽取人数求出占比即可；由抽取人数减去档人数即可求解“B档”成绩的人数；
（2）由中位数的概念即可求解；
（3）根据用样本估计总体的方法 即可．
【详解】（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵有两个项目供学生选择，
∴甲同学选择A项目的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图为：

由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种，
∴甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是．
23．此河流的宽度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
24．[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析．
【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证；
[实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证．
【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，，
又因为，
所以，
所以，
所以平分，
即点为所求点，
故答案为：；
[实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；
理由：连接,
由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点为所求．
25．(1)直线与相切，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
26．(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发或时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程；
（2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可；
（3）分和两种情况，求出的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：，
设乙的速度为，由题意，得：，解得：，
故乙的速度为；
之间的路程为：；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知：点的纵坐标为，
∴，
当时，设，把，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）当时，令，解得：；
当时，，解得：；
综上：当甲出发或时，两人之间的路程为．
27．(1)①
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论；
（2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解；
（3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
28．(1)，
(2)
(3)①见解析 ②
【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可；
（2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可；
（3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可；
②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可．
【详解】（1）解：过点E作于点K，
∵是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴ ，
根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
过点M作交于点L，
则，，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
②连接，，
∵，，
∴，
又∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点Q在与线段夹角为的射线上，
∴过点D作于点，
当点Q在时，最小，
这时．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．