2025-2026学年四川省成都市金牛实验中学八年级（上）期中数学试卷含答案解析

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1.若，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.下列因式分解中，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.分式的值为零，则x的值为( )
A. B. 7C. D. 0
5.关于x的多项式是完全平方式，则k的值是( )
A. 5或B. 3或C. 3或5D. 5
6.如图，一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知a，b，c为三边，且满足，则它的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
8.某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.代数式有意义的条件是 .
10.“a与4的和是正数”，用不等式表示为______.
11.现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 .
12.如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 .
13.如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为 .
14.若关于x的多项式有一个因式是，则m的值为 .
15.若关于x的方程有增根，则n的值为 .
16.将矩形OABC，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形OABC内的点折叠后的对应点为定义：若落在原矩形OABC内部不包含边界，且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”.
原矩形内点折叠后的对应点坐标为______；
“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是______.
17.若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为 .
18.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段CD上一点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转得到线段BQ，连接在点P从点C运动到点D的过程中，线段AQ扫过的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题16分
解不等式组：；
分解因式：；
分解因式：；
解分式方程：
20.本小题6分
先化简：，再从内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值.
21.本小题8分
已知关于x，y的方程组的解满足和的值都是正数.
求m的取值范围；
化简：
22.本小题8分
如图1，和都是等腰直角三角形，，，，连接AE，
证明：≌；
若，，且，求CE的长.
23.本小题10分
如图，直线与x轴交于点A，且经过点，已知点C的坐标为
求直线CD的解析式；
在直线CD上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标；
如图3，若点Q是第一象限内一点，且点Q到三边所在直线的距离相等，求点Q的坐标.
24.本小题8分
今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售.已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元.
求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？
该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价出售.若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
25.本小题10分
已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点
求点D的坐标；
在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由；
在直线上有一点Q，使得，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由.
26.本小题12分
如图1，在中，，，将线段BC绕点B按顺时针方向旋转得到线段BD，旋转角为，连接AD，
①若，则______；
②若，则______；
如图2，当时，过点B作于点E，AD与BE相交于点F，请探究线段AF与线段BE之间的数量关系，并说明理由.
当时，作点A关于CD所在直线的对称点，当点在线段BC所在的直线上时，求的面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：若，则，故选项A不成立；
B.若，则，故选项B成立；
C.若，则，故选项C不成立；
D.若，则，故选项D不成立．
故选：
根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算正确，符合题意．
故选：
因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，据此进行分析解答即可．
此题考查了因式分解的方法，掌握分解因式的方法是关键．
3.【答案】C
【解析】解：，
，
由图可知，该不等式的解集为，
，
解得：，
故选：
先求出，根据数轴得出，则，即可求解．
本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集的方法．
4.【答案】B
【解析】解：分式的值为零，
，
解得：
故选：
根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论．
此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：，
，
或，
故选：
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
6.【答案】B
【解析】解：根据函数图象可知：
不等式的解集为
故选：
利用函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于利用函数图象进行解答．
7.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
，
或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形．
故选：
把式子变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，难度较大．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
根据实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意，原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件2x个，
故选：
9.【答案】且
【解析】解：由题意得到：且，
且
故答案为：且
二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于0，由此即可求解．
本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得：用不等式表示为
故答案为：
根据正数大于0列出不等式即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意是关键．
11.【答案】101520
【解析】解：，
当，时，，，
将它们按从小到大排列得到101520，
故用上述方法产生的密码是：
故答案为：
根据题意，对代数式进行因式分解，按照规则排列即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的应用，通过提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：将点A坐标代入得，
，
解得
不等式可转化为
因为当时，函数的图象在函数图象的下方，即，
所以不等式的解集为
故答案为：
将点A坐标代入，求出点A的横坐标，再利用数形结合的思想即可解决问题．
本题考查一次函数与一元一次不等式，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据题意得BE平分，再根据平行线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：设，
可得，，
解得，，
故答案为：
设，右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法因式分解是解本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：，
，
解得：，
方程有增根，
，
把代入中得：，
解得：，
故答案为：
根据题意可得：，然后把代入整式方程中进行计算，即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题目的已知条件求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
16.【答案】；

【解析】解：点沿直线折叠后的对应点坐标为，
故答案为：；
设点，沿直线折叠后的对应点坐标为，
在原矩形OABC内部不含边界，
故，；
在原矩形OABC内部不含边界，
故，；
到y轴的距离比到x轴的距离大1，
故，即，
将代入上述不等式：
由得，
即；
由和得，
综合得
故答案为：
沿直线折叠的点，其对应点坐标为原坐标的横纵坐标互换，因此点折叠后的对应点为；
设，折叠后坐标为，列出P和在原矩形内部的条件：，的条件，，的条件，根据距离条件得，即，将代入不等式，合并得
本题考查翻折问题一次函数图象上点的坐标特征，属于中档题．
17.【答案】22
【解析】解：解不等式组得，
不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数时3、2、1，
，
解得：，
解关于y的分式方程得，
关于y的分式方程有整数解，
分母不为，即，解得，
符合条件的a为1，4，7，10，
所有整数a的和为22，
故答案为：
解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于y的分式方程有整数解，得出，即可得解．
本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键．
18.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
又线段BP绕点B逆时针旋转得到线段BQ，
，
，
即
连接OQ，
在和中，
，
≌
，，
，
，
作射线QO，在射线QO上截取，连接BD，，
，
即点Q的运动轨迹在射线QO上，
，
即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是图中的线段，
，
线段AQ扫过的图形的面积等于的面积．
作于E，
，
，
线段AQ扫过的面积，
故答案为：
利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段AQ的运动转化为线段BP的运动，进而确定线段AQ扫过的图形，再计算其面积．
本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段AQ扫过的图形，进而计算其面积．
19.【答案】；
；
；
原分式方程无解
【解析】解①得：，
，
解②得：，
，
不等式组的解集为：；
；
；
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，不是原方程的解，
原分式方程无解．
根据去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1解不等式组即可解答；
利用十字相乘法分解因式；
分两组，提公因式即可分解因式；
利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程，并检验即可解答；
本题考查解一元一次不等式组，分解因式，解分式方程，正确计算是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：
，
，，，
，，，
，
当时，原式
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】；
【解析】
①+②得，
①-②得
和的值都是正数，
，即，
解得：，
所以m的取值范围是；
由得，
，，
利用加减消元法表示出和的值，再列不等式组，最后求解即可；
根据m的取值范围去绝对值后化简即可．
此题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．
22.【答案】，
在与中，
≌；

【解析】证明：，
在与中，
≌
解：过点D作于H，
，
答：CE的长为
依据题意，由，可得，从而由SAS可得≌，即可得解；
依据题意，过点D作于H，由，可得，则，从而可得，即可得解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、旋转的性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键．
23.【答案】直线CD的解析式为；
点P的坐标为或；
Q的坐标为或
【解析】直线经过点，
，
，
设直线CD的解析式为，
，
，
直线CD的解析式为；
线与x轴交于点A，
，
设，
①如图，当点P在点D的上方，
的面积是面积的，
的面积是面积的，
，
，
，
②如图，当点P在点D的下方，
的面积是面积的，
的面积是面积的，
，
，
，
综上所述，点P的坐标为或；
当Q在内时，如图：
到AD，CD的距离相等，
在的角平分线上，
，，，
，，，
，
在AC的垂直平分线上，
的横坐标为；
设点Q到三边所在直线的距离为m，
，
，
解得，
到AC的距离为，即Q是纵坐标为；
点Q的坐标为，
当Q在外时，如图：
设点Q到三边所在直线的距离为n，
同理可得：，
解得，即Q的纵坐标为6，
，
，
，
在的角平分线上，
，
，
，
，
综上所述，Q的坐标为或
求出，再用待定系数法可得直线CD解析式；
分两种情况：当P在D下方时，当P在D上方时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
分两种情况：当Q在内时，证明Q在AC的垂直平分线上，可得Q的横坐标为2；设点Q到三边所在直线的距离为m，根据三角形的面积公式得到结论；当Q在外时，同理即可得到结论．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积．
24.【答案】解：设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
元，
每双A种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元．
设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋双．
根据题意，得，
解得
设这批跑鞋全部售完获利W元，则，
，
随a的增大而增大，
，
当时，W值最大，，此时购进B种跑鞋双，
购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大，最大利润是6800元．
【解析】设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是元，根据题意列方程并求解即可；
设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋双，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集；设这批跑鞋全部售完获利W元，根据“总利润种跑鞋的利润种跑鞋的利润”写出W关于a的函数关系式，根据该关系式的增减性，确定当a取何值时W的值最大，求出W的最大值及此时的值即可．
本题考查一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性、分式方程及一元一次不等式的解法是本题的关键．
25.【答案】；
P的坐标为或或或或；
或
【解析】联立两直线解析式可得：
，
解得，
；
直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，
，
设，
则，，，
①当时，则，
解得，
；
②当时，则，
解得，
或；
③当时，则，
解得，
或；
综上，P的坐标为或或或或；
直线：与x轴交于点A，
，
直线：与x轴交于点C，
，
，
，
，
过C作于点G，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
整理得，
解得或，
或
联立解析式求解即可；
利用两点距离公式表示出PB、PD、BD，再分类讨论建立方程求解即可；
过C作于点G，则为等腰直角三角形，利用等面积求出CG，进而求出CQ，再利用两点距离公式求解即可．
本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26.【答案】①30；②；
线段AF与线段BE之间的数量关系是：，理由如下：过点A作交EB的延长线于点H，如图2所示：
由旋转性质得：，，
，，，
，
，
于点E，
是等腰直角三角形，
，
交EB的延长线于点H，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
交EB的延长线于点H，于点E，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；

【解析】①当旋转角为时，如图1①所示：
在中，，，
，
由旋转性质得，，
，，
，
，
故答案为：30；
②当时，如图1②所示：
同①，，
，
，
故答案为：；
线段AF与线段BE之间的数量关系是：，理由如下：
过点A作交EB的延长线于点H，如图2所示：
由旋转性质得：，，
，，，
，
，
于点E，
是等腰直角三角形，
，
交EB的延长线于点H，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
交EB的延长线于点H，于点E，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
当时，点A关于CD所在直线的对称点只能在BC的延长线上，延长DC交于点K，如图3所示：
根据对称性可知：，，
由可知：，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
①当旋转角为时，先求出，根据旋转性质得，，则，，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，然后根据即可得出答案；
②当时，同①，，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，然后根据即可得出答案；
过点A作交EB的延长线于点H，由旋转性质得，，进而得，，，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，由此得，继而得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，再证明和全等得，据此即可得出线段AF与线段BE之间的数量关系；
当时，点A关于CD所在直线的对称点只能在BC的延长线上，延长DC交于点K，根据对称性可知，，则是等腰直角三角形，由此得DK是线段的垂直平分线，则，，在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，据此即可得出的面积．
此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．