2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题21三次函数问题(7大题型)(学生版+解析)

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题型一：定义域与值域问题
题型二：零点问题
题型三：对称问题
题型四：根与系数的关系
题型五：等极值线问题
题型六：图像问题
题型七：切线条数问题
【方法技巧总结】
1、基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义域为． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③单调性和图像：
性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
【典型例题】
题型一：定义域与值域问题
【例1】已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ）
A．B．0C．1D．
【变式1-1】对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ）
A．B．0C．1D．
题型二：零点问题
【例2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
【变式2-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（多选题）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
题型三：对称问题
【例3】对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010B．2020C．2023D．2024
【变式3-1】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
题型四：根与系数的关系
【例4】（2025·江苏盐城·三模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ．
【变式4-2】一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程的三个非零实数根分别为，，，以下命题：①；②；③；④.正确命题的序号是 .
题型五：等极值线问题
【例5】（多选题）对于一元三次函数图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ）
A．函数图象上所有点都有“伴随割点”
B．若点的“伴随割点”为点，则
C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则
D．若的图象与轴的交点分别为，，，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线
题型六：图像问题
【例6】（2025·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【变式6-1】下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】已知三次函数的图象如图，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
题型七：切线条数问题
【例7】下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；
②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③B．②③C．①④D．②④
【变式7-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A．B．C．D．
【变式7-2】（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
【变式7-3】过点可作3条直线与函数的图象相切，则（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
1．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
3．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·高三·广东东莞·期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）
A．8082B．C．8084D．
6．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023B．2027C．2031D．2035
7．已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·江西九江·一模）已知函数（），点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选题）（2025·广东东莞·模拟预测）三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数可能只有一个极值点
B．当时，函数的图象关于点中心对称
C．当时，过点的切线有一条
D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
14．（多选题）已知三次函数，则（ ）
A．当时，函数为单调递增函数
B．当时，函数的图象关于对称
C．存在，使得函数图象关于直线对称
D．函数有三个零点的一个充分条件是
15．（多选题）已知三次函数，则（ ）
A．函数一定有两个极值点B．当时，
C．当时，的极小值为0D．在区间上的值域为
16．任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 .
17．已知三次函数，若，则 .
18．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数）
19．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 .
20．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ．
21．若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则 .
图像