2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题19导数的同构思想(4大题型)(学生版+解析)

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题型一：直接变形同构
题型二：加法同构
题型三：乘法同构
题型四：朗博同构
【方法技巧总结】
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
【典型例题】
题型一：直接变形同构
【例1】 ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将不等式变形可得，
即，
构造函数，可得，
令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当当时，，即在上单调递增，
所以，即，所以函数在上单调递增，
利用单调性并根据可得，则有，
又，即可得，即对恒成立，因此即可，
令，，则，
显然当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，因此正实数的最大值是.
故选：A.
【变式1-1】（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，对任意恒成立，
即，
令，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，，
又由切线放缩可知，，
，即，
所以的最大值为.
故选：A.
【变式1-2】对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由恒成立可得，即恒成立，
由，可得恒成立，
令，则，
由知，函数单调递增，
所以恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以只需，即.
故选：B
题型二：加法同构
【例2】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，由，
可得，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，可得，
令，其中，则，
当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：D.
【变式2-1】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】.
令，则易知在上单调递增，，
令，问题转化为求 在的最小值.
因为，当时，（当且仅当时取“”）.
所以在上单调递增，.
所以的最大值为.
故选：A
【变式2-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，所以在上单调递增，
又对任意的恒成立，，
所以对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，即的取值范围为.
故选：D
题型三：乘法同构
【例3】（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，，即，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，此时，则，不合题设，
故，所以，
而在上单调递增，则，
问题化为，在上恒成立，
令且，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，故.
故选：D
【变式3-1】（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
即，
令，则，
所以在上单调递增，
由，
可得，，即在时恒成立，
令，则，令得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，所以.
故选：D.
【变式3-2】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式可化为，，又，
所以，故，
由已知不等式在上恒成立，
因为有意义，故，又，所以，
当时，不等式恒成立，
设，，
则，
因为，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，故，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，
所以，
所以的取值范围为
故选：C.
题型四：朗博同构
【例4】已知函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象的上方，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，由，得，
当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，又时，，故，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，此时；
当时，由，得；当时，由，得，
令，则，当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当时，，时，，
故在上的最小值为，在上的最大值为．
综上所述，实数的取值范围为，
故选：D．
【变式4-1】（2025·高三·云南昭通·开学考试）已知对于，都有，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式可转化为
因为，所以
设，则，在上单调递增，
又，所以
又，所以对恒成立，即
令，则由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以则
故选：D.
【变式4-2】函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：的定义域为，，
且，
若在定义域内是增函数，则在定义域上恒成立，
可得，
构建，则，
因为在定义域上单调递增，
可知在定义域上单调递增，可得，即，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
可得，所以实数a的最大值为.
故选：B.
【变式4-3】已知对于，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，，
即，即，
设，函数，即恒成立，
又函数在上单调递增，且，
即，
即，，
设，，
则，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取最小值为，
即，
故选：C.
【过关测试】
1．已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
当时，， ，，故.
∴在上单调递减，
∴当时， .
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：A.
2．若函数，且，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知的定义域为，
由可得，即；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得.
所以正实数的取值范围是.
故选：C
3．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
即，得.
设，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，即.
设，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
得，所以，
即实数的最小值为.
故选：C
4．若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，．
设，则对恒成立，
则在上单调递增，
则．
设，则．
当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为．
故选：C．
5．（2025·高三·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，由，得到，即，
令，则，因为，所以在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，
所以，可得，即在区间上恒成立，
令，则，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得到，
故选D.
6．（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
令，则，
因为在R上单调递增，所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由得到，其中，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，
综上，.
故选：B
7．已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，整理可得，
设，则，可知在内单调递增，
由题意可知：，则对任意内恒成立，
可得对任意内恒成立，
设函数，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以的最小值为，可得，
所以的取值范围为.
故选：D.
8．已知不等式，对恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式对恒成立，
当时，，取，此时，不符合题意，
因此，此时有，即，
当，即时，，不等式恒成立，
当，即时，令，于是，且，
而时，，即函数在上单调递增，此时，
所以要使题干不等式恒成立，只需上，即，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，，解得，
所以a的取值范围是.
故选：B
9．（2025·高三·内蒙古包头·开学考试）设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．eD．2e
【答案】B
【解析】因为不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
不等式对任意恒成立，
所以不等式对任意恒成立，
令，则，
令，则，
当时，即单调递减；
当时，即单调递增；
所以，
所以在上单调递增，
又因为式对任意恒成立，
即，
所以在上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以a的最小值为.
故选：B.
10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以
依题意恒成立，即，
因为，
所以恒成立.
令，则，
当时，所以在上单调递增，
则不等式恒成立，等价于恒成立.
因为，所以所以，
当时，，此时恒成立；
当时，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.
设,可得.
当时在单调递增，
当时在单调递减.
所以当时函数取得最大值，为，此时，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：B.
11．已知不等式对任意的恒成立， 则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式可变形为，设，
则对任意恒成立，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增.
当时，，
因为要求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，
因为函数在上单调递增，所以要使，只需，
两边取对数，得，由于，所以，
令，，则，令，得，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以，.
故选：B.
12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
因为对任意，都有，即恒成立，
令，易知在定义域上单调递增，
所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立，
令，则，由，得到，由，得到，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得到，
故选：A.
13．对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】恒成立，恒成立，
恒成立，
令，，当时，，单调递增．
由，即，
在为增函数，且，
恒成立，
恒成立，令，
则，
当时时，，
在单调递增，单调递减，
，，
即正实数的最小值为．
故选：D．
14．（2025·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（ ）
A．0B． C．eD．1
【答案】D
【解析】由，得，
所以对恒成立，
令，则在上单调递增，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，即
令，
则在上单调递增，
由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，所以，
所以的最大值为1.
故选：D
15．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为关于的不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以，即的取值范围是.
(令，则，，所以在上存在零点).
故答案为：
16．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，得，
即.
令，则，令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以在R上单调递增，
所以，即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（2025·四川·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，可得.
令，则，
当且仅当时，等号成立，故在上单调递增，
由，可得，
所以，则，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，故，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
18．（2025·陕西·模拟预测）已知恒成立，求正数的取值范围 ．
【答案】
【解析】，
又，所以，
当时，上式显然成立，
所以只需处理的情况即可，此时
，
令，
恒成立，所以严格递增，
在恒成立即可，
令，则，
令，
当时，，严格增，
当时，，严格减，
所以，所以，
故答案为：.
19．（2025·江苏泰州·模拟预测），，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】，，变形为，即，
显然若，当时，，不等式不成立，故，
从而，此时，若，则，故不等式恒成立，
故只需考虑的情况.
令，则，
因，所以，则在上递增，
又时，，，而即，
从而时，恒成立，也即时，恒成立，
令，则，
当时，，在上递增，
当时，，上递减，
则有最大值为，
所以，即.
故答案为：.
20．已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
故答案为：.
21．（2025·高三·吉林长春·开学考试）若对恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，，，
要使对恒成立，则与需异号.
当时：
对于，因为，，所以恒成立.
对于，其导数，因为，，
所以，在上单调递增.
则，此时与同号，
不满足恒成立，所以舍去.
当时：
令，解得.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在处取得极大值，也是最大值.
因为对恒成立，分以下两种情况讨论：
情况一：当时（的零点在的左侧或与重合），
则需且，由，可得.
由，可得.
综合可得.
情况二：当时（的零点在的右侧），
由，可得，
当时，；当时，；当时，.
在单调递增，在单调递减，，
①当，即时，
则，即，，则，解得，
此时，，则；，则；
，则，
均使得在上成立.
②当，即时，
，所以，
而时，，，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
22．设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由得，
即，
令，则．
因为，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，即，
所以k的最小值为．
23．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，得，恒成立即，恒成立.
，恒成立，化简可得，，
，，
令，，故单调递增，
，，令，
，
当时，，当时，，时，取最大值为，
，即.
故答案为：.
24．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为 ，
由，
可得，即，
可得，
令，其中，，所以，函数为上的增函数，
由，可得，
所以，，所以，，
令，其中，则，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，故，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
25．若对任意，当时恒有，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得，
即，
设，则，所以问题转化为在上没有零点.
当0时，没有零点，满足题意；
当时，由得，
设，
则，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
26．若不等式恒成立，则实数k的取值范围为
【答案】
【解析】令，易知在上单调递增，
由得，即可得，
即，
所以，即，
令，则，
易得，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
可得在处取得极大值，也是最大值；
因此，可得.
即实数k的取值范围为.
故答案为：
27．（2025·高三·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，．得，所以，
所以，
因为，所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，而，所以．
综上，在上恒成立，所以．
令，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，即．
所以的取值范围为.
28．（2025·高三·河南南阳·期中）若在恒成立，则实数的取值范围是 .（用区间表示）
【答案】
【解析】因在恒成立，则在恒成立，
设，则，
设，则在上恒成立，
即在上单调递增.
又
则存在，使，即（*）.
当时，，则，故在上单调递减；
当时，，则，故在上单调递增.
故.
又由（*），可得，
设，则得.
由可得在上单调递增，故得，
即，
于是，
故得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
29．（2025·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，设，在上单调递增，
，
令，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，又，
则的取值范围为：
故答案为：
30．已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由对恒成立，且，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
设，则，
设，则，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
所以恒成立，
可以转化为恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，即.
设，，则，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
又，所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
31．已知不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，且，
则，整理可得，
令，
则，即为，
因为在内均为增函数，则在内为增函数，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，
令，
因为在内均为增函数，
则在内为增函数，且，
当时，则，即；当时，则，即；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
32．已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，，有，，
整理得，，即，，
故仅需时，即可；
令，，则等价于，
因为，令，解得，
所以当时，，则在上单调递增，
所以当时，等价于，即恒成立，
令，，则，令，解得，
所以时，，即在上单调递增，
所以，则即可，所以的取值范围为.
故答案为：
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
减
极小值
增