湖南省祁阳市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析含答案解析

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第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知点、，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A -9B. -8C. 9D. 8
3. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. B.
C. l与α相交但不垂直D. 或
4. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
6. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B. 6C. D.
8. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线l倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 直线l在y轴上的截距为B. l的一个方向向量为
C l与直线垂直D. l与直线平行
10. 已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A. －4B. －2C. D. 3
11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ）
A. 当时，点P到平面的距离为
B. 当时，点P到平面的距离为
C. 当时，存在点P，使得
D. 当时，存在点P，使得平面
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 点到直线：的距离为_________.
13. 已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长_______．
14. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知的三个顶点分别为，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程．
16. 如图，长方体中，，E，F分别在上，且，

（1）求证：平面AEF；
（2）求异面直线AE与所成角的余弦值．
17. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数a的值．
18. 已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究：
①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由；
②求线段的中点的轨迹方程.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，且，以为邻边作平行四边形，为的中点，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，四点在同一个球面上，设该球面的球心O．
（i）证明：球心O在平面内；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值．