2025-2026学年湖南省祁阳市第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省祁阳市第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(2,-1,3)、B(1,2,3)，则AB=( )．
A. (2,-1,3)B. (1,2,3)C. (-1,3,0)D. (1,-3,0)
2.若圆x2+y2-4x+8y+2m=0的半径为2，则实数m的值为( )
A. -9B. -8C. 9D. 8
3.已知直线l的方向向量是a=(-2,2,2)，平面α的一个法向量是n=(1,-1,-1)，则l与α的位置关系是( )
A. l⊥αB. l//αC. l与α相交但不垂直D. l//α或l⊂α
4.椭圆的两个焦点是(-4,0)和(4,0)，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )
A. x25+y24=1B. x25+y23=1C. x225+y29=1D. x216+y29=1
5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c则下列向量中与BM相等的向量是( )
A. -12a→+12b→+c→B. 12a→+12b→+c→C. -12a→-12b→+c→D. 12a→-12b→+c→
6.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知▵ABC的顶点A(-3,0)，B(3,0)，C(3,3)，则▵ABC的欧拉线方程为( )
A. 2x-y-1=0B. 2x+y-32=0C. x+2y-3=0D. x-2y+1=0
7.已知A(-3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为( )
A. 2 10B. 6C. 26D. 2 6
8.已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+3)2+(y-2)2=1，过动点M(m,n)分别作圆C1、圆C2的切线MA，MB(A,B分别为切点)，若|MA|=|MB|，则m2+n2的最小值是( )
A. 8168B. 12168C. 16968D. 4968
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(- 3,1)，则下列结论中正确的有( )
A. 直线l在y轴上的截距为-2B. l的一个方向向量为u=- 36,12
C. l与直线 3x-3y+2=0垂直D. l与直线 3x-y+2=0平行
10.已知圆C1:x2+(y-a)2=9与圆C2:(x-a)2+y2=1有四条公切线，则实数a的取值可能是( )
A. -4B. -2C. 2 2D. 3
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足AP=λAC+μAD1，λ、μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=0时，点P到平面A1BC1的距离为 2
B. 当μ=0时，点P到平面A1BC1的距离为2 33
C. 当μ=34时，存在点P，使得BP⊥PC1
D. 当λ=34时，存在点P，使得BC1⊥平面PCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点P(-1,2)到直线l：2x+y-5=0的距离为 ．
13.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则▵AF1B的周长 ．
14.曲线y=1+ 1-x2与直线y-2=k(x-1)有两个交点，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC的三个顶点分别为A(-2,1),B(3,2),C(-1,4)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)AC边的垂直平分线DE的方程．
16.(本小题15分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=3,AA1=5，E，F分别在BB1,DD1上，且DF=95,BE=165，

(1)求证：A1C⊥平面AEF；
(2)求异面直线AE与D1B1所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆心为C的圆经过点A(1,-1)和B(4,2)，且圆心C在直线x-y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线 3x+y+a- 3=0与圆C相交于M，N两点，且∠MCN=120°，求实数a的值．
18.(本小题17分)
已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9，线段RQ的端点Q的坐标是(4,3)，端点R在圆C上运动，且点T满足线段RT=2TQ，记T点的轨迹为曲线Γ．
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M，N两点，试探究：
①设O为坐标原点，若OM⋅ON=26，这样的直线l是否存在，若存在求出|MN|；若不存在说明理由；
②求线段MN的中点D的轨迹方程．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=PB=2 2，以AB,PB为邻边作平行四边形ABPQ，D为AB的中点，E为CQ的中点．

(1)证明：AE//平面PCD；
(2)若PA=PC，P,A,B,C四点在同一个球面上，设该球面的球心O．
(i)证明：球心O在平面ABC内；
(ii)求平面PAB与平面QAO夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ABC
10.AD
11.BD
12. 5
13.24
14.0,12
15.【详解】(1)kBC=4-2-1-3=-12，
BC边所在直线的方程y-2=-12(x-3)，
即x+2y-7=0；
(2)kAC=4-1-1+2=3，
所以kDE=-13
又AC中点坐标-32,52，
所以AC边的垂直平分线DE的方程y-52=-13x+32，
即x+3y-6=0．

16.【详解】(1)依题意，建立以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则A(3,0,0),C(0,4,0),A1(3,0,5),B1(3,4,5),D1(0,0,5),F0,0,95,E3,4,165，
则A1C=(-3,4,-5),AE=0,4,165,AF=-3,0,95，
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，即4y+165z=0-3x+95z=0，令z=5，得n=(3,-4,5)，
所以A1C=-n，故A1C//n，所以A1C⊥面AEF．

(2)由(1)知AE=0,4,165，D1B1=(3,4,0)，
则csAE,D1B1=AE⋅D1B1AE⋅D1B1=16 16+25625⋅ 9+16=4 4141，
即异面直线AE与D1B1所成角的余弦值为4 4141．

17.【详解】(1)由圆心C在直线x-y+1=0上，设圆心C(m,m+1)，
由|AC|=|BC|，得 (m-1)2+(m+2)2= (m-4)2+(m-1)2，解得m=1，
因此圆心C(1,2)，半径r= (1-4)2+(2-2)2=3，
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9．
(2)由(1)知，圆C的圆心C(1,2)，半径r=3，
由∠MCN=120°，得圆心C到直线 3x+y+a- 3=0的距离为d=rcs60°=32，
则d=| 3×1+2+a- 3| ( 3)2+12=32，即|a+2|2=32，解得a=1或a=-5，


18.【详解】(1)设Rx0,y0，则(x0-1)2+(y0 -3)2=9，
设T:(x,y)，∵RT=2TQ，∴x0=3x-8y0=3y-6,∴(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9
即Γ:(x-3)2+(y-3)2=1．
(2)①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为y=kx+3，
则y=kx+3(x-3)2+(y-3)2=1∴1+k2x2-6x+8=0
设Mx1,y1,Nx2,y2，直线与圆交于两点，则36-4×8×1+k2>0，∴k2