2024~2025学年广西南宁市良庆区八年级（上）期中考试数学试题（解析版）

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一、选择题
1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式
，
故选：B．
4. 如图，图中的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
故选：A．
5. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 三角形具有稳定性D. 等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
6. 福厦高铁车速为a千米/时，高铁行驶小时的路程为多少千米．（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，千米．
故选：A．
7. 如图，三角形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，则的周长是（ ）
A. 13B. 11C. 12D. 9
【答案】B
【解析】∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴．
故选：B．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，原计算错误，不符合题意；
B. ，原计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，原计算错误，不符合题意；
故选C．
9. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】∵正多边形的一个外角是，
∴这个正多边形的边数为．
故选：D．
10. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】如图，过点D作于点E，
中，，是的角平分线，，
，
，
，
故选A．
11. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，，，
∵，
∴．
故选：D．
12. 如图，已知…，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
，
∵，
∴ ，
同理可得：，，
∴，
∴
故选：C．
二、填空题
13 计算__________．
【答案】1
【解析】．
故答案为：1．
14. 如图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度等于_______．
【答案】9
【解析】由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴自动扶梯的垂直高度等于，
故答案为：．
15. 在直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是______．
【答案】（-4，-3）
【解析】点关于轴对称点的坐标是（-4，-3），
故答案为：（-4，-3）
16. 如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则______
【答案】180
【解析】是等边三角形
，
≌
．
，
，
，
故答案为180．
17. 已知，，则________．
【答案】72
【解析】
，
故答案为：72．
18. 如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ___．
【答案】9
【解析】连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：9．
三、解答题
19. 计算：．
解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：原式，
当时，原式
21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题：
（1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）；
（2）求三角形的面积；
（3）直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）．
解：（1）如图，即为所求．
（2）的面积为；
（3）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
22. 某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A.“艺术类”，B.“文学类”，C.“科普类”，D.“体育类”，E.“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题；
（1）求此次调查的学生人数；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中A.“艺术类”所对应的圆心角度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C.“科普类”图书．
解：（1）此次被调查的学生人数为：（名）；
（2）D类的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：；
（4）（名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
23. 如图，，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（1）证明：．
和是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
，
，
．
24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书，购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
依题意得：，解得：，
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元，
（2）设该校购买乙种书m本，则购买甲种书本，
依题意得：解得：，
答：该校最多可以购买40本乙种书，
25. 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
解：（1）由图可得，阴影部分的面积是，
故答案为：；
（2）它的宽是，长是，面积是，
故答案为：；
（3）由图、图阴影部分面积可得，，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，
，
，
．
26. 如图，在中，．

（1）如图①，分别以，为边，向外作等边和等边，连接，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图②，分别以，为腰，向内作等腰和等腰，且小于，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，求的长及点D到直线的距离．
解：（1）∵和为等边三角形，
∴，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：=；
（2），
证明如下：∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设D到直线的距离为h，
∵，则
∴，
∴D到直线的距离为．